加群の局所化

加群の局所化について

可換環論や代数幾何学では、加群に対する局所化の技術が重要な役割を果たします。これは、ある環 R 上の加群 M に対し、特定の部分集合 S を用いて新しい加群 S⁻¹M を形成する方法です。局所化とは、分母を導入して新たな数の形式を考慮することを意味します。たとえば、与えられた加群 M の元 m と部分集合 S の元 s に対して、分数形態の m/s を形成します。

定義

まず、R を単位元 1 を持つ可換環、M を R 加群とします。S を R の積閉集合とし、1 ∈ S であり、任意の s, t ∈ S に対し、積 st も S の元であることを確認します。この場合、M の局所化 S⁻¹M は、対 (m, s) の同値類の集合として定義されます。ここで、(m, s) と (n, t) が同値であるのは、ある元 u ∈ S が存在して、u(sn - tm) = 0 が成り立つときです。

一般的に、この同値類は分数 m/s として表記されます。加群としての演算は次のように定義されます：2つの分数の和は、

$$rac{m}{s} + rac{n}{t} = rac{tm + sn}{st}$$

また、スカラー a ∈ R に対しては、次のように定義されます：

$$a ullet rac{m}{s} = rac{am}{s}$$

このように、局所化は環の局所化を一般化する重要な手法です。

特別な場合

S が素イデアル p の補集合である場合、この局所化を Mp と表記します。このとき、加群 M の台は素イデアル p が異なるすべての集合となります。加群 M への対応として R のスペクトルから R 加群への写像を考えると、これは従属関係を示し、その主な性質は、特に R 加群 M が自明であることと、そのすべての素イデアルにおける局所化が自明であることが同値であることです。

注意点

この定義は M = R の場合にも適用できます。このとき、環の局所化 S⁻¹R が得られます。ここで、加群準同型 φ: M → S⁻¹M の存在が示され、φ(m) = m/1 という形式により、分数が有限的に記述されます。

一部の著者は、積閉ではない集合 S を許す場合もあり、その場合は、1 とすべての元の有限の積を加えることで定義に帰着させます。

テンソル積との関係

加群の局所化 S⁻¹M は、対応する環の局所化 S⁻¹R と加群 M に対するテンソル積と同型であることが示されます。このように見ることで、局所化はしばしば係数拡大として扱われます。

平坦性

局所化は完全関手であり、これにより S⁻¹R が R 上の平坦加群であることが明らかになります。この特性は代数幾何学において、開集合 Spec(S⁻¹R) から Spec(R) への包含が平坦射であることを示し、代数幾何学における平坦性の重要性を強調します。

局所化の概念の展開

加群の局所化を通じて、準連接層や連接層の定義も可能となります。スキーム X に対する準連接 O_X 加群は、任意の R 加群 M の局所化に基づく層であり、連接 O_X 加群は局所的にモデルされた有限表示加群に関連します。

このように、加群の局所化は数学の多岐にわたる応用を持ち、その理論は代数幾何学の進展において基本的な位置を占めています。

もう一度検索