加群の根基

加群の根基 (radical) の理解

数学における加群理論においては、加群の根基（radical）は重要な構造を持っています。これは環のジャコブソン根基の一般化として知られており、加群の分類と構造に関与しています。特に、根基は加群の半単純成分（soc(M)）に対する双対概念とも言えます。

定義

まず、加群の根基の基本的な定義を確認してみましょう。ここで、Rを環、Mを左R-加群とします。Mの部分加群Nが、商M/Nが単純加群であるとき、Nは「極大部分加群」または「コシンプル（cosimple）」と呼ばれます。加群Mの根基は、Mのすべての極大部分加群の共通部分として定義されます。数式で表すと、次のようになります。

$$
ext{rad}(M) = igcap \{N \,|\, N\text{ is a maximal submodule of M}\}
$$

また同じ内容だが、別の視点から述べると、

$$
ext{rad}(M) = \sum\{S \,|\, S\text{ is a superfluous submodule of M}\}
$$

このように、rad(M)に対する二つの定義は、soc(M)に対しての直接的な双対の関係を持ちます。

性質

次に、根基の性質について考察します。rad(M)は余剰部分加群全体の和であるだけでなく、ネーター加群の場合、rad(M)自体も余剰部分加群であるという特徴があります。

また、すべての右R-加群Mに対して、rad(M)={0}となるような環を「右V-環（right V-ring）」と呼びます。この特性は、加群の構造と環の性質に密接に関わっています。

さらに、任意の加群Mに対して、

$$
ext{rad}(M / ext{rad}(M)) = 0
$$

が成り立ちます。これは、Mの根基が「Mを十分に小さな部分に分ける」といった意味合いを持つことを示しています。さらに、Mが有限生成加群であることと、M/rad(M)が有限生成かつrad(M)がMの余剰部分加群であることは同値であることも知っておきたい重要な結果です。

関連項目

加群の根基について学ぶ際には、以下の関連項目にも触れると理解が深まります。

• - 半単純成分
• - ジャコブソン根基

参考文献

加群の理論や根基に関する詳細な情報を得るために、以下の文献を参考にすることをお勧めします。

• - Alperin, J.L.; Rowen B. Bell (1995). Groups and representations. Springer-Verlag. pp. 136. ISBN 0-387-94526-1
• - Anderson, Frank Wylie; Kent R. Fuller (1992). Rings and Categories of Modules. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97845-1

このように、加群の根基は多様な観点から考えることができ、加群の性質を理解するための強力な道具となります。

もう一度検索