加群の長さ

加群の長さとは

抽象代数学において、加群の長さ (length) は、加群の「大きさ」を測るための尺度となる重要な概念です。これは、ベクトル空間における次元の概念を一般化したものであり、部分加群の鎖の長さとして定義されます。特に、有限の長さを持つ加群は、有限次元ベクトル空間と多くの共通する性質を持ちます。

環と加群の理論においては、加群の大きさを測るために、加群の長さ以外にも深さや高さといった概念が用いられます。これらの概念は、定義がやや複雑であるものの、次元を捉える上で有用なアイデアを提供します。特に、長さが有限な可換環は、形式的な代数幾何学において重要な役割を果たします。

定義

R を環とし、M を R 上の（左または右）加群とします。
M の部分加群の鎖

`N₀ ⊊ N₁ ⊊ ... ⊊ Nₙ`

が与えられたとき、n をこの鎖の長さといいます。加群 M の長さは、M の部分加群の鎖の中で最長の長さを指します。もしそのような最大の長さが存在しない場合、M の長さは無限であるといいます。

環 R が左 R 加群として有限の長さを持つとき、環 R は有限の長さを持つといいます。

例

零加群は、長さが 0 である唯一の加群です。
長さが 1 の加群は、単純加群に相当します。
有限次元ベクトル空間（基礎体上の加群とみなす）においては、長さと次元は一致します。
巡回群 Z/nZ （整数環 Z 上の加群とみなす）の長さは、n の重複度を込めた素因数の数に等しくなります。

事実

加群 M が有限の長さを持つことと、M がアルティン加群かつネーター加群であることは同値です。
M が有限の長さを持ち、N が M の部分加群である場合、N もまた有限の長さを持ち、`length(N) ≤ length(M)` が成り立ちます。さらに、N が M の真部分加群であるならば、`length(N) < length(M)` となります。
加群 M₁ と M₂ が有限の長さを持つならば、それらの直和も有限の長さを持ち、直和の長さは M₁ と M₂ の長さの和に等しくなります。

短完全列

`0 → L → M → N → 0`

について、M が有限の長さを持つことと、L と N が有限の長さを持つことは同値であり、以下の式が成り立ちます。

`length(M) = length(L) + length(N)`

これは、上記の2つの性質を含んでいます。

組成列

加群 M の組成列は、

`0 = N₀ ⊊ N₁ ⊊ ... ⊊ Nₙ = M`

の形の鎖であって、すべての i = 0, ..., n-1 に対して、`Nᵢ₊₁/Nᵢ` が単純加群となるものです。すべての長さ有限の加群 M は組成列を持ち、そのような組成列の長さは M の長さに等しくなります。

関連項目

ヒルベルト–ポアンカレ級数

参考文献

* Steven H. Weintraub, Representation Theory of Finite Groups AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0, ISBN 978-0-8218-3222-6

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