劣微分

劣微分の概要

劣微分とは、微分不可能な関数に対する微分概念を拡張したもので、主に凸解析と関連しています。通常の微分は一点での接線の傾きを表現しますが、劣微分は集合の形で表されるため、より柔軟な評価方法を提供します。これは特に凸最適化において非常に重要な役割を果たします。

劣微分の定義

考えるべきは、開区間 I 上で、必ずしも全ての点で微分可能でない凸関数 f: I→R です。例えば、絶対値関数 f(x) = |x| は、x = 0 の点で微分を持ちません。しかし、そこの周りの点に対して接する直線の集合を考えることができ、その直線の傾きの集合が劣微分の値となります。

劣微分の定義に従って、ある点 x0 における劣微分は、次の条件を満たす数 c の集合として定義されます：

$$f(x) - f(x_0) \\geq c (x - x_0)$$

この関係式は、関数 f が x0 の周りでどのように変化するかを示しています。

劣微分の集合の要素

さらに、劣微分を表す集合の要素は、次の条件に基づいて定義される閉区間 [a, b] の間に存在します：

• - a は、右側からの極限として定義され、次のように表現されます：

$$a = \lim_{x
earrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

• - b は、左側からの極限によって求められ、以下のように表されます：

$$b = \lim_{x \searrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

これにより、劣微分はその範囲内のすべての傾きを示します。

微分可能性との関係

もし関数 f が点 x0 で微分可能であれば、劣微分は一意に定まります。逆に、劣微分が唯一の要素だけを持つ場合、関数 f はその点で微分可能と判断されます。これは、微分可能性を判断する一つの手段として劣微分が機能することを示しています。

実例

具体的な例として、絶対値関数 f(x) = |x| を考えてみましょう。点 x = 0 における劣微分は、[−1, 1] という範囲になります。その結果、x0 が 0 より小さい場合、劣微分は {−1} に、0 より大きい場合は {1} になります。このように、劣微分は関数の特性についての理解を深めるのに役立ちます。

劣勾配の概念

劣微分を決定する要素 c は、劣勾配と呼ばれます。劣勾配は、最適化手法や解析において重要な役割を果たします。特に、凸最適化問題において、勾配が求められない場合でも、劣勾配を用いることで問題の扱いが可能となります。

まとめ

劣微分は、通常の微分の概念を拡張することで、特に微分不可能な凸関数の解析において広範囲に利用されます。この新しいアプローチにより、凸最適化の分野で有用な知見を得ることができます。

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