単サイト近似

単サイト近似：多重散乱問題への簡便なアプローチ

多重散乱理論は、物質中の電子の散乱を記述する強力な手法ですが、不規則系への適用は複雑です。特に、ポテンシャルの配置がランダムな系では、散乱行列の計算が困難になります。そこで用いられる近似手法の一つが単サイト近似です。

不規則二元合金における問題設定

ここでは、周期的な格子構造を持ちながら、ポテンシャルがランダムに配置された不規則二元合金を考えます。二種類の原子AとBに対応するポテンシャルをそれぞれVA、VBとし、それぞれの濃度をxと1-xとします。多重散乱理論では、系の全散乱行列Tは、個々の原子サイトnの散乱行列tnと、それらを繋ぐグリーン関数G~を用いて、無限級数で表されます。

この級数は、tnの組み合わせがランダムであるため、そのまま扱うことはできません。そこで、何らかの平均化を行う必要が生じます。しかし、単純に平均化するだけでは、tnの積の項において、同じサイトのtnが複数回現れる項（例えば、tntn、tntmtnなど）が避けられず、計算が非常に複雑になります。

単サイト近似の導入

単サイト近似では、この複雑さを回避するため、全散乱行列Tの平均⟨T⟩を計算する際に、同一サイトの散乱行列の積を含む項を全て無視します。具体的には、平均⟨T⟩を計算する際に、異なるサイトの散乱行列の平均の積で近似します。例えば、三次の項⟨tntmtk⟩は、⟨tn⟩⟨tm⟩⟨tk⟩と近似されます。この近似により、平均操作が大幅に簡略化されます。

平均化の具体例

一次と二次の項の平均化を具体的に見てみましょう。一次の項⟨tn⟩は、サイトnがAである確率xとBである確率1-xを用いて、x⟨tA⟩ + (1-x)⟨tB⟩と計算されます。一方、二次の項⟨tntm⟩は、nとmが同一サイトの場合と異なるサイトの場合で平均値が異なってきます。単サイト近似では、n=mの場合の項を無視し、n≠mの場合のみを考慮します。この近似が、計算を大幅に簡略化させる鍵となります。

状態密度への応用

単サイト近似を用いることで、不規則二元合金の状態密度D(E)を比較的容易に計算できます。状態密度の変化は、各サイトの散乱行列の平均⟨tn⟩、グリーン関数G~、および構造因子Bqを用いて表されます。この式は、不規則系における状態密度を解析する上で基本的な役割を果たします。ここで、Bqは構造定数をフーリエ変換したものです。

まとめ

単サイト近似は、[多重散乱理論]]における重要な近似手法です。ランダムなポテンシャルを持つ不規則系において、計算を大幅に簡略化し、状態密度などの物理量を評価することを可能にします。ただし、近似であるため、厳密な結果とは異なる点があります。より精密な計算が必要な場合には、より高度な手法（例えば、コヒーレントポテンシャル近似]）を用いる必要があります。単サイト近似は、[[第一原理バンド計算などの手法と組み合わせることで、様々な不規則系の電子状態を理解する上で重要な役割を担います。

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