多重散乱理論

多重散乱理論：ランダムポテンシャル下での電子の振る舞い

散乱理論では、単一のポテンシャルによる粒子の散乱を扱いますが、現実の物質中では、多数のポテンシャルによる多重散乱が重要な役割を果たします。多重散乱理論(Multiple scattering theory)は、このような複雑な散乱過程を記述する理論体系です。本稿では、ランダムなポテンシャルが格子状に配置された系における電子の多重散乱を例に、多重散乱理論の基本概念と手法を解説します。

モデル系の設定

ここでは、規則的に配置された格子点上に、ランダムなポテンシャルが配置されている系を考えます。各格子点nに位置するポテンシャルをVn、自由電子のハミルトニアンをH0とすると、系の全ハミルトニアンHは以下のように表されます。

H = H0 + Σn Vn

このハミルトニアンを、周期的ポテンシャル部分と非周期的ポテンシャル部分に分解し、グリーン関数G(z)を用いて記述することで、多重散乱問題を解くことができます。ここで、zは複素エネルギーです。

グリーン関数と総散乱行列

系のグリーン関数G(z)は、以下の式で表されます。

G(z) = (z - H)^-1

非周期的ポテンシャル部分による散乱を考慮するために、総散乱行列Tを用います。Tは、各格子点nにおける散乱行列tnを用いて、以下の式で表されます。

T = Σn tn + Σn,m tn G0 tm + ...

ここで、G0は自由電子のグリーン関数です。このT行列は、全ての散乱過程を包括的に表現しています。

厳密な形式解

ポテンシャルが全て同一であると仮定すると、総散乱行列Tはさらに簡略化され、厳密な形式解を得ることができます。この形式解は、各格子点間の散乱振幅と、結晶格子の幾何学的構造に関する構造定数Bnn'を用いて表現されます。構造定数は、球ハンケル関数と球面調和関数で表され、結晶格子の種類にのみ依存する定数です。

状態密度

得られた形式解から、系の状態密度D(E)を計算することができます。状態密度は、エネルギーEにおける電子の状態数の密度を表し、系の電子状態を理解する上で重要な物理量です。自由電子の状態密度D0(E)との比較により、ランダムポテンシャルによる状態密度の変化を調べることができます。

ランダム系の取り扱い

ポテンシャルが[ランダム]]な場合、問題は複雑になります。この場合、平均場近似などの近似手法を用いることで、ランダム性を効果的に取り扱うことができます。代表的な手法として、単サイト近似]や[コヒーレントポテンシャル近似]があり、これらは多重散乱理論を基礎としたバンド計算手法として利用されます。周期的な系に対する多重散乱理論に基づくバンド計算手法として、[[KKR法があります。

まとめ

多重散乱理論は、複雑な散乱現象を記述する強力な理論枠組みであり、固体物理学、材料科学など様々な分野で活用されています。本稿では、ランダムポテンシャル下での電子の多重散乱を例に、その基本的な概念と手法について解説しました。グリーン関数、総散乱行列、形式解、状態密度といった重要な概念を理解することで、多様な物質の電子状態を解明することができます。特に、ランダムな系への拡張は、合金やアモルファス物質などの研究において重要な役割を果たします。

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