クロス積

クロス積：3次元ベクトルの演算

3次元ベクトル空間において、2つのベクトルから新たなベクトルを生成する二項演算をクロス積といいます。英語ではcross product、vector product、あるいは外積(exterior product)と呼ばれ、記号としては「×」や角括弧「[]」を用いて表現されます。クロス積は、幾何学的な意味を持ち、ベクトルの直交性や平行四辺形の面積、平行六面体の体積など、様々な場面で活用されます。本稿では、クロス積の定義、性質、幾何学的意味、多次元への拡張について詳細に解説します。

クロス積の定義

2つのベクトルaとbのクロス積a×bは、以下の式で定義されます。

a × b = |a| |b| sinθ n

ここで、

|a|、|b| はそれぞれベクトルa、bの大きさです。
θはベクトルaとbのなす角です。
nはaとbが張る平面に垂直な単位ベクトルで、右手系（右手で親指をa、人差し指をbとしたときに中指の方向）を満たすように定められます。

この定義から、クロス積a×bは、aとb両方に直交するベクトルであることが分かります。

行列式による定義

クロス積は、行列式を用いて以下のように定義することもできます。

a × b = det(⟨a, b, v⟩)

ここで、⟨a, b, v⟩は、a, b, vを列ベクトルとして並べた3×3行列、detは行列式を表します。この定義から、クロス積の反交換律（a × b = -b × a）が導かれます。

クロス積の幾何学的意味

クロス積の大きさは、aとbが張る平行四辺形の面積に等しくなります。

a × b	=	a		b		sinθ

また、3つのベクトルa, b, cの混合積a・(b × c) は、これらが張る平行六面体の体積を表します。

V = |a・(b × c)| = |b・(c × a)| = |c・(a × b)|

クロス積の性質

クロス積は以下の重要な性質を持ちます。

分配律: a × (b + c) = a × b + a × c
反交換律: a × b = -b × a
双線型性: k(a × b) = (ka) × b = a × (kb) (kはスカラー)
* ヤコビ恒等式: a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

成分表示

標準基底{e₁, e₂, e₃}を用いて、ベクトルa = (a₁, a₂, a₃)、b = (b₁, b₂, b₃)とすると、クロス積は成分表示できます。

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

多次元への拡張

クロス積は、3次元ベクトル空間で定義される演算ですが、行列式を用いた定義を拡張することで、より高次元への拡張が考えられます。しかし、クロス積が持つ重要な性質（特に、結果が元のベクトルと直交する性質）を維持したまま、任意の次元で定義することはできません。7次元空間以外では、クロス積に相当する演算は存在しません。

まとめ

クロス積は、3次元ベクトル空間における重要な演算であり、幾何学的な意味合いを持つことから、物理学や工学など様々な分野で応用されています。その性質や幾何学的意味を理解することで、ベクトル解析の理解が深まります。また、多次元への拡張についても、その限界を含めて理解しておくことが重要です。

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