単拡大
数学の代数学、特に体論において、「単拡大（simple extension）」とは、ある体 K の拡大体 L が、L の特定の要素 α を用いて K と α から生成される体 K(α) と等しくなる場合を指します。このとき、要素 α は L の K 上の「生成元」または「原始元」と呼ばれます。
単拡大 K(α) は、生成元 α の K 上での性質によってその構造が決定され、主に二つのタイプに分類されます。
有限単拡大: もし α が K 上で代数的な要素である（すなわち、K 係数の零でない多項式の根となる）場合、拡大 K(α) は K 上の有限次拡大となります。この拡大の次数は、α の K 上の最小多項式の次数に等しく、K(α) はその最小多項式の根体に同型です。
無限単拡大: α が K 上で代数的でない、つまり超越的な要素である場合、拡大 K(α) は K 上の無限次拡大となります。K を真に含む無限次単拡大は、K 上の有理関数体 K(X) と同型になります。
単拡大の概念が数学的に注目されるのは、その構造が比較的単純であり、よく分類されている点にあります。また、重要な定理として「原始元定理」が存在します。この定理は、すべての有限分離拡大が単拡大であることを保証します。体拡大が「分離的」であるとは、拡大を構成するすべての要素の K 上の最小多項式が K 上で重根を持たないことを意味します。基礎体 K が標数 0 の体（例: 有理数体 $\mathbb{Q}$、実数体 $\mathbb{R}$、複素数体 $\mathbb{C}$）や有限体である場合、すべての代数拡大は分離的となるため、これらの体上の有限拡大は必ず原始元定理によって単拡大となります。
単拡大の例と非例:
複素数体 $\mathbb{C}$ は実数体 $\mathbb{R}$ の単拡大です。虚数単位 i が生成元となり、$\mathbb{C} = \mathbb{R}$(i) です。これは i が代数的であるため有限次（2次）単拡大です。
$\mathbb{Q}$ に $\sqrt[3]{2}$ と i を添加した体 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, i)$ は、$\mathbb{Q}$ 上の単拡大です。$\mathbb{Q}$ は標数 0 のため、この拡大は有限次かつ分離的であり、原始元定理により単拡大となります。実際に、$\sqrt[3]{2} + i$ はこの拡大の生成元の一つとなります。r = $\sqrt[3]{2} + i$ とおけば、(r-i)³ = 2 から i = (r³ - 3r - 2)/(3r² - 1) という関係が得られ、i が $\mathbb{Q}$(r) に含まれることが分かります。したがって、$\sqrt[3]{2} = r - i$ も $\mathbb{Q}$(r) に含まれるため、$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, i) = \mathbb{Q}$(r) が証明できます。
実数体 $\mathbb{R}$ は有理数体 $\mathbb{Q}$ の単拡大ではありません。$\mathbb{R}$ には代数的な無理数や超越数など様々な性質を持つ要素が含まれており、単一の生成元で生成される構造を持ちません。
標数 p の体 k 上の二変数有理関数体 L = k(X, Y) と、その部分体 K = k(X^p, Y^p) を考えると、拡大 L/K は次数 p² の有限拡大ですが単拡大ではありません。これは L の任意の要素が K 上高々 p 次であるため、単拡大の生成元が存在しないからです。
単拡大の性質:
単拡大 L=K(α) において、K と L の間に存在するすべての中間体 M (K ⊆ M ⊆ L) もまた、L の K 上の単拡大となります。これは「リューローの定理」として知られています。α が代数的か超越的かに関わらず成り立ちます。
拡大次数が素数であるようなすべての有限次拡大は単拡大です。
有限拡大 L/K が単拡大であることと、K と L の間に中間体が有限個しか存在しないことは同値です。
単拡大の表現:
有限次単拡大 K(α) の要素や演算を具体的に表現する方法がいくつかあります。
多項式による表現: 拡大次数が n の場合、K(α) の要素は K 係数の次数 n-1 以下の多項式に α を代入した形で表現できます。α の最小多項式 P(X) を用いると、K(α) は多項式環 K[X] をイデアル (P) で割った剰余環 K[X]/(P) と同型です。和は多項式の和として、積は多項式の積を P(X) で割った余りとして計算されます。例えば、$\mathbb{C}$ は $a+bX$ の形の多項式の集合と見なせ、積の計算は $X^2$ を $-1$ に置き換えること（$X^2+1$ で割った余りを取る）に対応します。
行列による表現: K(α) を K を成分とする行列環の部分体として表現することも可能です。α の最小多項式 R の同伴行列 M を用いると、K(α) は行列環 K(M) と体同型になります。この表現は、計算機上での演算を行列計算に帰着できる利点があります。例えば、$\mathbb{C}$ は実数成分の $2 \times 2$ 行列のうち $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ の形のもののなす体と同型です。
ベクトル空間としての表現: K(α) は K 上のベクトル空間 Kⁿ と見なせます。要素は n 個の成分を持つタプルで表現され、和は成分ごとですが、積は行列表現などから導かれる特定の双線型写像として定義されます。これは、要素をベクトルとして扱い、積を定義する方法です。
これらの表現は、単拡大の構造を具体的に理解し、計算を行う上で有用です。
単拡大 K(α) は、生成元 α の K 上での性質によってその構造が決定され、主に二つのタイプに分類されます。
有限単拡大: もし α が K 上で代数的な要素である（すなわち、K 係数の零でない多項式の根となる）場合、拡大 K(α) は K 上の有限次拡大となります。この拡大の次数は、α の K 上の最小多項式の次数に等しく、K(α) はその最小多項式の根体に同型です。
無限単拡大: α が K 上で代数的でない、つまり超越的な要素である場合、拡大 K(α) は K 上の無限次拡大となります。K を真に含む無限次単拡大は、K 上の有理関数体 K(X) と同型になります。
単拡大の概念が数学的に注目されるのは、その構造が比較的単純であり、よく分類されている点にあります。また、重要な定理として「原始元定理」が存在します。この定理は、すべての有限分離拡大が単拡大であることを保証します。体拡大が「分離的」であるとは、拡大を構成するすべての要素の K 上の最小多項式が K 上で重根を持たないことを意味します。基礎体 K が標数 0 の体（例: 有理数体 $\mathbb{Q}$、実数体 $\mathbb{R}$、複素数体 $\mathbb{C}$）や有限体である場合、すべての代数拡大は分離的となるため、これらの体上の有限拡大は必ず原始元定理によって単拡大となります。
単拡大の例と非例:
複素数体 $\mathbb{C}$ は実数体 $\mathbb{R}$ の単拡大です。虚数単位 i が生成元となり、$\mathbb{C} = \mathbb{R}$(i) です。これは i が代数的であるため有限次（2次）単拡大です。
$\mathbb{Q}$ に $\sqrt[3]{2}$ と i を添加した体 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, i)$ は、$\mathbb{Q}$ 上の単拡大です。$\mathbb{Q}$ は標数 0 のため、この拡大は有限次かつ分離的であり、原始元定理により単拡大となります。実際に、$\sqrt[3]{2} + i$ はこの拡大の生成元の一つとなります。r = $\sqrt[3]{2} + i$ とおけば、(r-i)³ = 2 から i = (r³ - 3r - 2)/(3r² - 1) という関係が得られ、i が $\mathbb{Q}$(r) に含まれることが分かります。したがって、$\sqrt[3]{2} = r - i$ も $\mathbb{Q}$(r) に含まれるため、$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, i) = \mathbb{Q}$(r) が証明できます。
実数体 $\mathbb{R}$ は有理数体 $\mathbb{Q}$ の単拡大ではありません。$\mathbb{R}$ には代数的な無理数や超越数など様々な性質を持つ要素が含まれており、単一の生成元で生成される構造を持ちません。
標数 p の体 k 上の二変数有理関数体 L = k(X, Y) と、その部分体 K = k(X^p, Y^p) を考えると、拡大 L/K は次数 p² の有限拡大ですが単拡大ではありません。これは L の任意の要素が K 上高々 p 次であるため、単拡大の生成元が存在しないからです。
単拡大の性質:
単拡大 L=K(α) において、K と L の間に存在するすべての中間体 M (K ⊆ M ⊆ L) もまた、L の K 上の単拡大となります。これは「リューローの定理」として知られています。α が代数的か超越的かに関わらず成り立ちます。
拡大次数が素数であるようなすべての有限次拡大は単拡大です。
有限拡大 L/K が単拡大であることと、K と L の間に中間体が有限個しか存在しないことは同値です。
単拡大の表現:
有限次単拡大 K(α) の要素や演算を具体的に表現する方法がいくつかあります。
多項式による表現: 拡大次数が n の場合、K(α) の要素は K 係数の次数 n-1 以下の多項式に α を代入した形で表現できます。α の最小多項式 P(X) を用いると、K(α) は多項式環 K[X] をイデアル (P) で割った剰余環 K[X]/(P) と同型です。和は多項式の和として、積は多項式の積を P(X) で割った余りとして計算されます。例えば、$\mathbb{C}$ は $a+bX$ の形の多項式の集合と見なせ、積の計算は $X^2$ を $-1$ に置き換えること（$X^2+1$ で割った余りを取る）に対応します。
行列による表現: K(α) を K を成分とする行列環の部分体として表現することも可能です。α の最小多項式 R の同伴行列 M を用いると、K(α) は行列環 K(M) と体同型になります。この表現は、計算機上での演算を行列計算に帰着できる利点があります。例えば、$\mathbb{C}$ は実数成分の $2 \times 2$ 行列のうち $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ の形のもののなす体と同型です。
ベクトル空間としての表現: K(α) は K 上のベクトル空間 Kⁿ と見なせます。要素は n 個の成分を持つタプルで表現され、和は成分ごとですが、積は行列表現などから導かれる特定の双線型写像として定義されます。これは、要素をベクトルとして扱い、積を定義する方法です。
これらの表現は、単拡大の構造を具体的に理解し、計算を行う上で有用です。
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