指示関数

指示関数とは

数学において、指示関数（英: indicator function）、または特性関数（英: characteristic function）とは、ある集合の要素が特定の部分[[集合]]に属するかどうかを示す関数です。これは、集合論や測度論など、様々な分野で基本的なツールとして用いられています。

定義

集合 E とその部分[[集合]] A が与えられたとき、E の要素 x に対して、x が A に属するならば 1 を、属さないならば 0 を返す関数 χA を、部分[[集合]] A の指示関数と定義します。

数式で表すと以下のようになります。

math
\chi _{A}: E \to \{1, 0\} ; x \mapsto \chi _{A}(x) := \begin{cases}1 & \text{ if } x \in A, \\0 & \text{ if } x
otin A\end{cases}


この指示関数 χA は、部分[[集合]] A を完全に特徴付けることができます。つまり、E のすべての部分[[集合]]は、一意の指示関数に対応します。この対応関係は、E のべき集合 2E と E 上の指示関数全体の集合 Χ(E) の間の全単射として表現できます。

math
\chi: 2^{E} \to \mathrm{X}(E); A \mapsto \chi_{A}


このため、指示関数 χA は部分[[集合]] A の特性関数、あるいは定義関数とも呼ばれます。

指示関数を表す記号は複数存在し、例として以下のようなものが用いられます。

χA(x)
ChA(x)
IA(x)
1A(x)
1ₐ(x)
1A(x)

集合演算との関係

指示関数は、集合演算と密接に関係しています。集合 U の部分[[集合]] A, B に対して、以下の関係が成り立ちます。

空[[集合]]: χ∅ = 0
全体集合: χU = 1
非交和: χA⊔B = χA + χB
共通部分: χA∩B = χAχB = min{χA, χB}
差集合: χA\B = χA - χAχB
和集合: χA∪B = χA + χB - χA∩B = χA + χB - χAχB = max{χA, χB}
対称差: χA△B = χA\B + χB\A = χA + χB - 2χAχB
補集合: χAc = χU\A = 1 - χA

積分との関係

指示関数は、積分の概念とも関連しています。例えば、3次元ユークリッド空間 R3 の図形 A が体積確定であるとは、その指示関数 χA が可積分であることを指し、その積分値が A の体積となります。

math
m(A) := \int_{\mathbb{R}^{3}} \chi_{A}(x) dx


一般に、可測空間 (X, M) において、X の部分[[集合]] A が測度 μ に関して可測であるとき、その指示関数 χA の積分値は、A の測度 μ に関する体積となります。

math
\operatorname{vol}_{\mu}(A) = \mu(A) := \int_{X} \chi_{A}(\xi) d\mu(\xi)


また、可積分関数 f(x) に対して、部分[[集合]] A における f の積分は、以下のように定義されます。

math
\int_{A} f|_{A}(\xi) d\xi := \int_{X} \chi_{A}(\xi) f(\xi) d\xi


特に、f の台 supp(f) に対しては、以下の関係が成り立ちます。

math
\int_{X} f(\xi) d\xi = \int_{\mathrm{supp}(f)} f|_{\mathrm{supp}(f)}(\xi) d\xi


さらに、一点集合 {x} の指示関数は、特定の条件下でディラックのデルタ関数を表すと考えられます。

math
\inf_{N \in \mathbf{N}_{x}} \chi_{N} = \chi_{\{x\}}


math
\int_{X} \chi_{\{x\}}(\xi) f(\xi) d\xi := \inf_{N \in \mathbf{N}_{x}} \int_{X} \chi_{N}(\xi) f(\xi) d\xi = f(x) \mathrm{vol}(\{x\})

その他の応用

統計学においては、指示関数はカテゴリデータを 1 または 0 の数値に変換するダミー変数として用いられます。

また、ファジィ[[集合]]においては、指示関数の概念を拡張したメンバーシップ関数が用いられ、要素が集合に属する度合いを表すために利用されます。

まとめ

指示関数は、数学における基本的な概念であり、集合論、測度論、統計学など様々な分野で重要な役割を果たしています。そのシンプルな定義からは想像できないほど、多くの応用が存在します。この記事を通して、指示関数の理解が深まれば幸いです。

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