双一次変換

双一次変換：アナログフィルタからデジタルフィルタへの変換

双一次変換（Bilinear transform、双一次Z変換、タスティン変換、台形差分法とも呼ばれる）は、連続時間領域の線形時不変（LTI）フィルタを離散時間領域の線形シフト不変フィルタに変換するための重要な手法です。デジタル信号処理において、アナログフィルタをデジタルフィルタに変換する際に広く利用されています。スイッチトキャパシタフィルタなども離散時間フィルタですが、双一次変換は特にデジタルフィルタ設計において中心的役割を果たします。

この変換は、s平面（連続時間領域の複素周波数平面）上の虚軸（Re[s]=0）をz平面（離散時間領域の複素周波数平面）上の単位円（|z|=1）に写像するという性質を持っています。この写像は、s平面の左半平面をz平面の単位円の内側に、右半平面を単位円の外側に写像するという特徴があります。

双一次変換の利点

双一次変換の大きな利点は、連続時間フィルタの安定性を離散時間フィルタにそのまま引き継ぐ点にあります。連続時間フィルタが安定である（伝達関数の極がs平面の左半平面にある）場合、双一次変換によって得られる離散時間フィルタも安定である（伝達関数の極がz平面の単位円内にある）ことが保証されます。同様に、最小位相性も保持されます。

周波数歪み

しかし、双一次変換には欠点もあります。それは周波数歪みです。双一次変換は周波数軸を線形に写像するわけではなく、高周波数になるほど歪みが大きくなります。具体的には、連続時間フィルタの角周波数ωaと離散時間フィルタの角周波数ωの間には、以下の非線形関係が成立します。

ωa = (2/T) * tan(ωT/2)

ここで、Tはサンプリング周期です。この式から分かるように、高周波数領域では、離散時間フィルタの周波数ωと対応する連続時間フィルタの周波数ωaは大きくずれていきます。この歪みは、特にナイキスト周波数（サンプリング周波数の半分）に近づくほど顕著になります。低周波数領域では、ωとωaはほぼ等しくなります。

周波数歪みの補正：プリワーピング

周波数歪みを軽減するために、設計時に連続時間フィルタの仕様（遮断周波数や中心周波数など）を事前に補正するプリワーピングという手法が用いられます。プリワーピングでは、上記の関係式を用いて、目的の離散時間フィルタの周波数から、それに対応する連続時間フィルタの周波数を計算し、その周波数で連続時間フィルタを設計します。

双一次変換の数学的基礎

双一次変換は、s平面とz平面を結びつける写像として理解できます。ラプラス変換とZ変換の関係を、自然対数の一次近似を用いて近似することで導出されます。正確には、s = (1/T)ln(z) という関係がありますが、これを近似することで双一次変換の式が得られます。この近似は低周波数領域では精度が高く、デジタルフィルタ設計において有用です。

双一次変換と他の変換法

双一次変換以外にも、インパルス不変法など、アナログフィルタからデジタルフィルタへの変換法が存在します。しかし、インパルス不変法ではエイリアシングが発生する可能性があります。双一次変換は、エイリアシングを回避できるという利点があります。

まとめ

双一次変換は、アナログフィルタをデジタルフィルタに変換する上で重要な手法です。安定性と最小位相性を保持しつつ、周波数応答を近似できます。ただし、周波数歪みが生じるため、設計時にはプリワーピングなどの補正が必要となる場合があります。様々なデジタル信号処理技術において、双一次変換は基礎的な役割を果たしています。

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