双対錐と極錐

双対錐と極錐の概要

双対錐（そうついすい、英: dual cone）と極錐（きょくすい、英: polar cone）は、数学の凸解析において重要な概念です。これらは、線型空間での部分集合の性質を理解する上で基盤となる役立つ道具です。以下では、それぞれの定義や性質を詳しく見ていきましょう。

双対錐

双対錐は、位相的双対を持つ線型空間において定義されます。具体的には、線型空間 $X$ に対し部分集合 $C$ の双対錐 $C^$ は、以下のように定義されます：

$$C^{}=igg\{y ext{ ∈ } X^{} igg| igorall x ext{ ∈ } C, rack y,x rack ≥ 0iggrack$$

ここで、$⟨y, x⟩$ は $X$ と $X^$ の間の双対組です。この定義によれば、$C$ が凸集合や錐でない場合でも、$C^$ は常に凸錐になります。また、実ヒルベルト空間の文脈では、内的双対錐とも呼ばれる別の定義があります。これは以下のように示されます：

$$C_{ ext{internal}}^{}=iggrac{y ext{ ∈ } X igg| igorall x ext{ ∈ } C, rack y,x rack ≥ 0iggrack$$

この定義から分かることは、$C$ が錐であるとき、特定の条件を満たす零でないベクトル $y$ が $C^$ に含まれるための必要十分条件が存在することです。

1. $y$ が $C$ の支持超平面における法線ベクトルである。
2. $y$ と $C$ が同じ側にある。

これにより、$C^$ は閉じた凸集合であり、もし $C_1 ⊆ C_2$ であれば $C_2^ ⊆ C_1^$ となる性質も成り立ちます。また、$C$ の内部が空でない場合、$C^$ は付点集合となります。逆に、$C$ が錐でその閉包が付点集合ならば、$C^$ の内部は空でないことも示されます。最終的には、$C^{*}$ は $C$ を含む最小の凸錐となることが確かめられます。

自己双対錐

自己双対錐とは、線型空間 $X$ 内の錐 $C$ が、その内的双対錐が $C$ に等しいことを意味します。特に、実ヒルベルト空間においては、この性質を持つ錐を自己双対と呼ぶことが一般的です。例えば、楕円型基を有する空間の錐は自己双対であることが多いです。この場合、内積の変更を許すため、より広範な意味へと容易に拡張されます。

極錐

次に、極錐について説明します。$X$ における部分集合 $C$ に対し、極錐は以下のように定義されます：

$$C^{o}=iggrac{y ext{ ∈ } X^{} igg| igorall x ext{ ∈ } C, rack y,x rack ≤ 0iggrack$$

極錐はまた、双対錐に -1 をかけたものとも言えます。このことから、$C^o = -C^*$ という等式が導かれます。さらに、閉じた凸錐 $C$ に対して、極錐は $C$ の極集合と一致するという性質もあります。

結論

双対錐と極錐は、数学の解析や最適化の分野で非常に重要です。それぞれの構造や性質を理解することにより、様々な問題において解決策を見出すための方法を提供してくれます。最適化理論や幾何学的な性質に興味を持つ研究者や学生にとって、これらの概念は非常に有益です。

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