法線ベクトル

法線ベクトルとは

法線ベクトル（normal vector）は、幾何学における重要な概念で、特に曲線や曲面の解析において頻繁に用いられます。具体的には、以下の通り定義されます。

2次元平面の場合: 曲線上の点における接線に対して垂直な平面ベクトルを指します。
3次元空間の場合: 曲面上の点における接平面に対して垂直な空間ベクトルを指します。

法線と法線ベクトルの違い

法線（normal）とは、接線や接平面に垂直な直線のことを指します。法線ベクトルは、この法線の方向と大きさを表現するベクトルです。

法線ベクトルの一意性について

曲線（曲面）上の点に対して法線ベクトルは一意に定まるわけではありません。ある点における法線ベクトルは、その点を通る接線（接平面）に対して垂直な任意のベクトルを指すため、無限に存在します。このため、特に単位ベクトル（ノルムが1）である単位法線ベクトルが用いられることがあります。しかし、単位法線ベクトルであっても、正反対の方向を向いた2つのベクトルが存在することに注意が必要です。

3次元空間における法線ベクトルの求め方

3次元空間における曲面の法線ベクトルは、その曲面上の点における2つの線形独立な接ベクトルの外積として求めることができます。

例えば、直方体の一つの面ABCDにおいて、法線ベクトルNは、ベクトルABとベクトルADの外積として計算できます。


N = AB × AD


ここで、×はベクトルの外積を表します。法線ベクトルのノルム（長さ）は、線分ABの長さと線分ADの長さの積となります。

特に、線分ABがx軸に平行で、線分ADがz軸に平行な場合、法線ベクトルNは以下のように計算できます。


N = -|AB|i × |AD|k = |AB||AD|j


ここで、i, j, kはそれぞれx, y, z軸方向の単位ベクトルを表します。

法線ベクトルの導出

平面曲線の場合

平面曲線 `f(x, y) = 0` 上の点 `(x0, y0)` における法線ベクトルは、以下の偏微分を用いて求めることができます。


(∂f/∂x(x0, y0), ∂f/∂y(x0, y0))


特に、直線 `ax + by + c = 0` 上の点 `(x0, y0)` における法線ベクトルは、`(a, b)` で表されます。

媒介変数表示された曲線の場合

曲線 `x = f(t), y = g(t)` において、`t = t0` における点の法線ベクトルは、以下の式で計算できます。


±(y'(t0), -x'(t0))

接空間の表示

法線ベクトルを用いることで、接点と法線ベクトルから元の接空間を表現することができます。接点をA(a), 法線ベクトルをnとすると、接空間の方程式は以下のように表されます。


n · (x - a) = 0


ここで、xは接空間上の任意の点を表します。

関連事項

法線ベクトルは、線形代数学、ベクトル解析、コンピュータグラフィックスなど、様々な分野で重要な役割を果たしています。法線ベクトルに関するより詳しい情報は、以下の項目を参照してください。

線形代数学
ベクトル空間
ベクトル
単位ベクトル
直交補空間
ベクトル解析

外部リンク

* 法線ベクトルの3通りの求め方と応用

この解説が、法線ベクトルについての理解を深める一助となれば幸いです。

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