双曲線軌道

双曲線軌道とは

軌道力学において、双曲線軌道とは、ケプラー軌道の一種で、離心率が1よりも大きい軌道を指します。この軌道の特徴は、軌道上の物体が中心天体から無限に遠ざかっていく点です。放物線軌道と同様に、双曲線軌道も脱出軌道の一種ですが、軌道エネルギーが0より大きく、無限遠でも運動エネルギーを保持します。

軌道の表現

双曲線軌道は、極座標(r, φ)を用いて以下の式で表されます。

math
r = \frac{L}{1 + e \cos \phi}


ここで、rは中心天体からの距離、φは真近点角、Lは半直弦、eは離心率です。双曲線の場合、離心率 e > 1 であり、cos φ = −1/e となる角度で、距離rが無限大になります。

双曲線の長半径 a は、楕円の場合と同様に定義されますが、双曲線の場合、負の値をとる場合と正の値をとる場合があります。ここでは、負の値を取る場合を定義として採用します。

math
a = \frac{L}{1-e^2} < 0


真近点角φ = 0 のときの近点距離 r_min は以下の式で表されます。

math
r_{min} = \frac{L}{1 + e} = |a|(e-1) = a(1-e)

無限遠点での速さ

双曲線軌道において、中心天体から無限に離れた地点での速さ(v_∞)は、エネルギー保存則から以下の式で求められます。

math
v_∞ = \sqrt{\frac{μ}{-a}}


ここで、μ は中心天体の重力定数、aは双曲線の軌道長半径に-1を掛けたものです。この無限遠点での速さv_∞は、軌道エネルギーと一意の関係があり、以下の式で表されます。

math
2ε = C_3 = v_∞^2


ここで、εは単位質量あたりの軌道エネルギー、C_3は特性エネルギーです。

軌道速度

双曲線軌道における任意の点での軌道速度(v)は、以下の式で計算されます。

math
v = \sqrt{μ\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}


ここで、μは中心天体の重力定数、rは中心天体からの距離、aは双曲線の軌道長半径に-1を掛けたものです。

双曲線軌道の応用

双曲線軌道は、惑星探査機のスイングバイなど、天体間の移動に利用されることがあります。また、彗星などの太陽系外からの天体が、太陽の重力によって軌道を変える際にも見られます。

まとめ

双曲線軌道は、天体力学において、物体が中心天体から無限に遠ざかる運動を記述する上で重要な概念です。その特性を理解することで、天体の運動や宇宙探査の計画立案に役立てることができます。

関連項目

軌道
人工衛星の軌道

外部リンク

https://web.archive.org/web/20081008041919/http://homepage.mac.com/sjbradshaw/msc/traject.html
http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/ellipse.html

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