軌道速度

軌道速度とは

軌道速度とは、惑星、衛星、人工衛星、連星などの天体が、他の天体の周りを軌道運動する際の速度を指します。この速度は、軌道上の位置によって変化し、一定ではありません。一般的には、平均的な軌道速度や、ある時点における瞬間軌道速度について議論されます。

軌道速度の算出

軌道速度は、中心となる天体からの距離と軌道エネルギーを用いて計算できます。軌道エネルギーは、物体の位置に依存せず一定であり、その力学的エネルギーは、全エネルギーから位置エネルギーを差し引いたものです。

天体力学の標準的な仮定の下では、軌道速度 `v` は以下の式で表されます。

一般式:

math
v = \sqrt{2(\frac{\mu}{r} + \epsilon)}


ここで、

`μ` は万有引力定数と中心天体の質量の積
`r` は中心天体と軌道運動する天体との距離
`ε` は軌道エネルギー

楕円軌道の場合:

math
v = \sqrt{\mu(\frac{2}{r} - \frac{1}{a})}


放物線軌道の場合:

math
v = \sqrt{\mu(\frac{2}{r})}


双曲線軌道の場合:

math
v = \sqrt{\mu(\frac{2}{r} + \frac{1}{a})}


`a` は軌道長半径です。

軌道速度の特徴

速度は離心率に依存しない: 軌道速度は、軌道の形状を表す離心率には直接的には依存せず、軌道長半径によって決まります。
動径軌道: エネルギーが正またはゼロの場合、物体は中心天体から遠ざかるか、中心天体に向かって移動します。エネルギーが負の場合、物体は中心天体から離れた後、落下して戻ってきます。
横向き方向の軌道速度: 横方向の軌道速度は、角運動量保存の法則により、中心天体からの距離に反比例します。つまり、天体は中心天体に近いほど速く、遠いほど遅く動きます。これは、面積速度一定の法則として知られています。

円運動の場合の軌道速度

円運動における軌道速度は、軌道周期または天体の質量と軌道半径から計算できます。一方の天体の質量が他方より十分に小さい場合、軌道速度 `vo` は以下の式で表されます。

math
v_o = \frac{2\pi r}{T}


または

math
v_o = \sqrt{\frac{mG}{r}}


ここで、

`r` は軌道半径
`T` は周期
`m` は中心天体の質量
`G` は万有引力定数


二つの天体の質量が近い場合は、以下の式で計算できます（円運動に限る）。

math
v_o = \sqrt{\frac{m_{2}^{2}G}{(m_{1}+m_{2})r}}


ここで、

`m1` は速度を求める天体の質量
`m2` はその周囲を周回する天体の質量
`r` は二つの天体間の距離（それぞれの天体と重心との距離の合計）です。

楕円軌道の場合の平均速度は楕円積分が必要となるため、初等関数では表せません。しかし、近似値を求めることは可能です。

これらの式を用いることで、天体の運動をより深く理解することができます。

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