軌道長半径

軌道長半径

軌道長半径（semi-major axis）は、幾何学の一部であり、楕円や双曲線の重要な指標です。この数値は、特に天文学において公転運動を理解するために欠かせません。

楕円の軌道長半径

楕円では、軌道長半径は長軸の半分の長さを指します。この直線は楕円の中心及び二つの焦点を結び、また楕円周上の最も曲率が大きい部分をも通過します。円の特別な場合では、軌道長半径は円の半径に等しくなります。

楕円の軌道長半径の長さは「a」と表し、これには短半径「b」や離心率「e」との関係が成立します。次のように表されます：
1. b = a√(1-e²)
2. ℓ = a(1-e²)
3. aℓ = b²

一つの焦点と半通径が固定された状態で、もう一つの焦点を引き延ばすと、放物線が生じます。これにより、a（軌道長半径）とb（短半径）が無限大になる様子が観察されますが、aの増加率はbよりも早いことがわかります。また、軌道長半径は一つの焦点から楕円周の特定の点までの最小と最大距離の平均としても定義されます。極座標系では、次のような式が成り立ちます：

r(1 - e cos θ) = ℓ
この式から、rの平均値は次のように求められます。

a = ℓ / (1 - e²)

双曲線の軌道長半径

双曲線の場合、軌道長半径は二つの枝の間の距離の半分を指します。双曲線の方程式は次のように示されます：

((x - h)² / a²) - ((y - k)² / b²) = 1

半通径と離心率を用いると、次のように表現できます：
a = ℓ / (e² - 1)

双曲線の主軸は軌道長半径の方向と一致します。

天文学における重要性

天体力学では、星の周りを公転する小天体の公転周期Tは、軌道長半径に基づいて以下の式で表されます：

T = 2π√(a³/μ)
ここで、「μ」は重力定数と主星の質量の積です。この式から、楕円軌道において離心率に関わらず、同一の軌道長半径をもつ天体の公転周期は同じであることがわかります。さらに、ケプラーの法則により、T² = a³の関係が成り立っています。ここでTは公転周期を年単位で、aは天文単位で表した軌道長半径を意味します。

これがアイザック・ニュートンによる二体問題の式をもとに重力項を簡略化したものであることが背景にあります。

軌道長半径の計算

天体力学において、軌道長半径の計算には天体の位置ベクトルが用いられます。楕円の場合の計算は、次の通りです：
a = -μ / (2ε)

双曲線の場合は：
a = μ / (2ε)

ここで、εは全体の位置エネルギーに関連し、μは重力定数に主星の質量を掛けたものです。これらの式により、主星の質量と位置エネルギーから軌道長半径を計算できます。

例

例えば、国際宇宙ステーションは公転周期が91.74分で、軌道長半径が6738kmです。

関連項目

• - 軌道短半径

このように、軌道長半径は楕円や双曲線の特性を理解する上でのみならず、天文学における公転周期との関係でも極めて重要な役割を果たしています。

もう一度検索