可縮空間

可縮空間（かしくくうかん）

可縮空間とは、位相空間論において、直感的には空間全体を連続的に一点に潰すことができるような空間を指します。より厳密には、空間自身の上での恒等写像が、ある一点への定値写像とホモトープであるような位相空間 `X` を可縮であるといいます。

定義と基本的な性質

位相空間 `X` が可縮であることは、その空間が一点からなる空間のホモトピー型を持つことと同値です。この性質から、可縮空間の持つホモトピー的な不変量はすべて自明になります。具体的には、可縮空間のすべてのホモトピー群は単位元のみからなる自明な群となります。したがって、一つでも非自明なホモトピー群を持つ空間は、決して可縮にはなり得ません。同様に、特異ホモロジーもホモトピー不変量であるため、可縮空間の被約ホモロジー群はすべて自明になります。

可縮性の同値な条件

位相空間 `X` について、以下のような条件はすべて可縮であることと同値です（ここで `Y` は任意の位相空間とします）。

空間 `X` が可縮である。（すなわち、恒等写像が定値写像とホモトープである）
空間 `X` が、一点のみからなる空間とホモトピー同値である。
空間 `X` の一点が、`X` の変位レトラクトである。ただし、これは必ずしも強変位レトラクトである必要はありません。
任意の位相空間 `Y` から `X` への任意の二つの連続写像 `f, g: Y → X` は互いにホモトープである。
任意の位相空間 `Y` から `X` への任意の連続写像 `f: Y → X` は、ある定値写像とホモトープである。

これらの同値な条件は、可縮空間がいかに「単純」なホモトピー構造を持つかを示しています。

構成と関連する概念

任意の位相空間 `Z` に対して、その空間 `Z` の錐（cone）と呼ばれる空間 `CZ` を構成することができますが、この錐空間 `CZ` は常に可縮空間となります。このことから、どんな位相空間も必ず可縮空間に埋め込むことができることが分かります。

しかし、可縮空間の任意の部分空間が常に可縮であるとは限りません。例えば、ユークリッド空間 `R^n` (可縮) の部分空間である球面 `S^{n-1}` (不可縮、n>1) がその反例となります。

また、空間 `X` が可縮であることと、その錐 `CX` から `X` へのレトラクションが存在することも同値です。

可縮空間は常に弧状連結かつ単連結です。さらに、すべての高次のホモトピー群が自明であるため、すべての可縮空間は任意の非負整数 `n` に対して n連結 となります。

局所可縮空間

局所可縮空間とは、空間の各点が、それ自体が可縮であるような開近傍を局所基として持つような位相空間を指します。可縮空間と局所可縮空間は異なる概念であり、一方が他方を包含するわけではありません。例えば、ある空間は可縮だが局所可縮ではない場合や、その逆の場合も存在します。

局所可縮空間は、すべての非負整数 `n` に対して 局所n連結 です。特に、それらは局所単連結、局所弧状連結、そして局所連結となります。

具体例

可縮空間の例:
任意のユークリッド空間 `R^n`。
ユークリッド空間内の任意の星型領域（ある点から領域内の任意の点への線分全体が領域内に含まれるような領域）。
ホワイトヘッド多様体。
無限次元ヒルベルト空間における単位球面。
いわゆる「部屋が二つある家」（Two-room house）と呼ばれる図形。
Dunce hat。
不可縮空間の例:
任意の有限次元における球面 `S^{n-1}`（ただし `n>1`）。
可縮だが局所可縮でない例:
櫛空間（Comb space）。
Hawaiian earring の錐（錐であるため可縮ですが、一点での局所的な構造が複雑なため局所可縮ではありません）。
局所可縮だが一般に可縮でない例:
多様体（コンパクトでない多様体は不可縮な場合がある）。
CW複体。

可縮性は空間全体の位相構造に関わる性質であり、局所可縮性は各点の近傍での局所的な性質に関わるという違いがあります。

もう一度検索