可逆層

可逆層

概要

可逆層（かぎゃくそう、英: invertible sheaf）は、数学、特に代数幾何学や複素解析幾何学において用いられる基本的な概念の一つです。
環付き空間上で定義される特殊な種類の連接層であり、位相幾何学における直線束という概念を、より代数的な設定へと橋渡しする役割を担います。
代数多様体やスキームの研究において極めて重要であり、カルティエ因子やピカール群といった中心的な理論の基盤となっています。

定義

環付き空間 X 上の層、特に構造層 OX 上の加群の層 S が「可逆層」であるとは、以下の条件を満たす連接層であるときに定義されます。
OX 加群の層のテンソル積 S ⊗OX T が、構造層 OX 自身と同型となるような、別の連接層 T が存在すること。
この条件は、層のテンソル積という演算において、S が「逆元」を持つことを意味しており、OX がこの演算における単位元として機能します。直観的には、層として「割り算」ができるようなものだと捉えることができます。

性質と別の特徴づけ

代数幾何学や複素多様体論といった最も標準的な文脈においては、可逆層の抽象的な定義は、より具体的な幾何学的あるいは加群論的な性質と同等であることが知られています。
具体的には、可逆層 S は、X 上で「局所的に自由で階数1の OX 加群の層」であることと特徴づけられます。これは、X の任意の点 p に対して、p を含むある開近傍 U 上で、S の U への制限 SU が、OX(U) 上の階数1の自由加群、すなわち OX(U) 自身と同型になるという性質です。
この「局所的に階数1の自由」という性質は、可逆層が位相空間上の直線束（各点におけるファイバーが1次元ベクトル空間である束）の代数的なアナロジーであるという直感をよく反映しています。

具体例

古典的な例として、代数的整数論におけるデデキント整域上の分数イデアルが挙げられます。これは、デデキント整域 R に対して、そのスペクトル Spec(R) 上の可逆層が R 上の階数1の射影加群に対応するという、より一般的な事実の具体例と見なせます。
一般に、アフィンスキーム Spec(R) 上の可逆層の圏は、R 上の階数1の射影加群の圏と同値になります。

ピカール群

環付き空間 X 上の可逆層の同型類全体は、層のテンソル積を演算としてアーベル群を構成します。この群は Pic(X) と表記され、「ピカール群」と呼ばれます。
ピカール群は、代数的整数論におけるイデアル類群を自然に一般化した概念です。イデアル類群がデデキント整域上の分数イデアルの同型類のなす群であるように、ピカール群はより一般のスキーム上の「拡張されたイデアル」の類を捉えるものと言えます。
代数曲線論においては、そのヤコビ多様体の構造を記述する上で中心的な役割を果たします。Pic(X) の構造を研究することは、代数幾何学における重要な課題の一つです。

カルティエ因子との関係

可逆層は、代数多様体上の重要な幾何学的対象であるカルティエ因子と密接な関係があります。
実際、代数多様体 X 上のカルティエ因子からは、それに対応する可逆層を自然な方法で構成することができます。逆に、多くの重要なクラスの空間（例えば整スキーム）においては、任意の可逆層があるカルティエ因子から生じると考えることができます。この対応関係は、代数幾何学において、幾何学的な情報を可逆層という代数的な対象を通じて解析することを可能にします。

関連概念

直線束
ベクトル束
ピカール群
カルティエ因子
第一チャーン類
バーコフ・グロタンディークの定理

参考文献

* グロタンディーク、デュドネ「代数幾何学原論 (Éléments de géométrie algébrique) 」第1巻 第0章 0.5.4節

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