台 (測度論)

測度の台（サポート）

測度の台は、数学における測度論の重要な概念です。これは特定の可測空間における測度が「生きている」地域を指します。具体的には、可測空間
$(X, ext{Borel}(X))$ 上の測度 $
u$ の台 $ ext{supp}(
u) $ とは、その空間内のいかなる点においても、近傍が正の測度を持つような点の全集合として定義されます。この定義により、測度がどのように分布しているかを明確に示すことができます。

定義と背景

可測空間 $(X, ext{Σ})$ において、測度 $
u$ は実際には関数 $
u : ext{Σ} o [0, + ext{∞}]$ として表現されます。一般に、測度の台は次のように定義されます：

$$ ext{supp}(
u) := ar{ ext{A} ext{ | } A ext{ ∈ Σ},
u(A) > 0}$$

この定義は一定の制約があります。なぜなら、測度の台を理解するには、空間内で測度 $
u$ がどの位置において非零であるかが重要だからです。

以下の簡単な例を見てみましょう。

• - ルベーグ測度 $

u$ を考えると、実数全体でこの測度は「生きている」ことは明らかです。

• - ディラック測度 $δ_p$ の場合、点 $p$ のみにおいて測度が存在し、それ以外の点ではゼロです。

これらの例から、一般的な測度の台の定義が不十分なことがわかります。次に、その適切な定義を導入します。

測度の台の正確な定義

位相空間 $(X, T)$ において、$
u$ を $X$ 上の測度とし、$ ext{Borel}(X)$ をボレル $ ext{σ}$-代数とします。この場合、測度の台は以下のように定義されます：

$$ ext{supp}(
u) := ext{ { x ∈ X | ∃ N_x ∈ T,
u(N_x) > 0 }} $$

つまり、点 $x$ の周囲の近傍が正の測度を持つすべての点の集合が台になります。この台は必ずしも閉じた集合である必要はありません。実際、補集合がゼロ測度の開集合の合併であることから、台は閉集合であることが示されます。

特殊な性質

ここで興味深いことは、測度 $
u$ が狭義に正であるための必要十分条件が、$ ext{supp}(
u) = X$ であることです。非ゼロ測度の台が空であることもありますが、特にハウスドルフ位相空間のラドン測度 $
u$ については、台の外にある任意の可測集合の測度はゼロになります。

さらに、任意の可測関数 $f : X o ext{R}$ に対し、以下が成り立つことが示されます：
$$ ext{ ∫}_X f(x) d
u(x) = ext{ ∫}_{ ext{supp}(
u)} f(x) d
u(x).$$
このことは、測度の台がその測度において重要であることを強調しています。

具体例の考察

1. ルベーグ測度：実数直線 $R$ 上のルベーグ測度 $
u$ について考えます。任意の点 $x ∈ R$ に対し、それに収束する開近傍 $N_x$ は常に存在し、その測度は2ε（εは正の数）として正の値を持つため、$ ext{supp}(
u) = R$ です。

2. ディラック測度：点 $p ∈ R$ についてディラック測度 $δ_p$ を考えると、$x = p$ の場合はすべての開近傍 $N_x$ が測度1となり、またそれ以外の $x
eq p$ については、$δ_p$ は測度ゼロとなります。これにより、$ ext{supp}(δ_p) = {p}$ です。

3. 一様分布：実数直線上での一様分布の測度 $
u$ は、任意のボレル集合に対して正の測度を持つことが確認できます。特に、開区間 $[0,1]$ の外側を持つすべての測度は、台として $[0, 1]$ であることが示されます。ここで、0点や1点を含む任意の近傍の測度は正の値を持っています。

結論

測度の台は、その測度がどのように定義されているかを示す重要な概念です。数学的基盤を持ちながら、測度が意味を持つ地点を明確にし、この定義は様々な測度の性質を考察する上でも重要な役割を果たします。

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