ディラック測度

ディラック測度とは

ディラック測度（Dirac measure）とは、特定の集合Xおよびその部分集合からなるσ-代数に対して定義される測度で、特定の点xに基づいています。この測度は、任意の可測部分集合Aに対して、以下のように示されます。

$$
δ_x(A)=1_A(x)={\begin{cases}0,&x
otin A;\\1,&x\in A\end{cases}}
$$

この表現は、xが集合Aの中に含まれているかどうかによって、測度が0または1になることを示しています。ディラック測度は確率測度の一種と見なされ、ある標本空間X内において点xがほぼ確実に起こるかどうかを示すのに使われます。この測度は「単原子元」とも呼ばれ、特異性のある測度としての性質を持ちます。

ディラック測度は、シュワルツ超函数理論から派生したもので、その名前はディラックのデルタ関数に由来しています。特に、以下の積分の式が成り立つことが、ディラック測度の特徴です。

$$
\int_X f(y) dδ_x(y)=f(x)
$$

この等式は、ルベーグ積分における定理として広く知られています。ここで、fは任意の関数であり、ディラック測度を使うことで直接的にf(x)の値を得ることができます。

ディラック測度の性質

ディラック測度δ_xは、适切な可測空間(X, Σ)内の特定の点xを中心としたもので、以下の性質が存在します。まず、δ_xは確率測度であり、したがって有限測度でもあります。また、(X, T) が位相空間であり、ΣがX上のボレル代数σ(T)と同程度の細かさである場合、δ_xは狭義正測度と呼ばれる特性を持つための必要十分条件は、位相Tがすべての非空開集合に点xを含むことであることが示されています。

例えば、特に自明な位相{∅, X}の場合が考えられます。このようにして、ディラック測度は局所有限測度でもあります。

さらに、ハウスドルフ位相空間Xにそのボレル代数を考慮すると、δ_xは内部正則測度の要件も満たします。なぜなら、点{x}を含むような単集合は常にコンパクトなためです。この条件により、δ_xはラドン測度でもあると言えます。

また、一般的な応用において、位相Tが十分細かく{x}が閉じた集合となる場合、δ_xの台は{x}になります。そうでない場合、supp(δ_x)は(X, T)における{x}の閉包をとったものになります。重要なのは、ディラック測度は台が{x}である唯一の確率測度となる点です。

実際、Xがn次元ユークリッド空間Rnで、通常のσ-代数とn次元ルベーグ測度λ_nが適用される場合、δ_xはλ_nに対して特異的であることも確認されます。したがって、Rnを集合A = Rn ∖ {x}とB = {x}に分けると、δ_x(A) = λ_n(B) = 0が成り立つことが示されます。

参考文献

• - Jean Dieudonné (1976). “Examples of measures”. Treatise on analysis, Part 2. Academic Press. p. 100.
• - John Benedetto (1997). “§2.1.3 Definition, δ”. Harmonic analysis and applications. CRC Press. p. 72.

関連項目

• - 離散測度

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