合同二等辺化線点

合同二等辺化線点

幾何学の分野において、三角形の中心の一つに『合同二等辺化線点（ごうどうにとうへんかせんてん、英: congruent isoscelizers point）』と呼ばれる特異な点が存在します。この点は、Encyclopedia of Triangle Centersにおいて、X(173)として正式に登録・識別されています。その存在は、1989年に幾何学者ピーター・イフの研究によって初めて明らかになりました。

定義

合同二等辺化線点の定義を理解するために、まず『二等辺化線（isoscelizer）』という概念を説明します。三角形ABCの頂点Aに着目したとき、辺AB上に点P₁, 辺AC上に点Q₁をとります。このとき、線分P₁Q₁によって切り取られる三角形AP₁Q₁が二等辺三角形となるような線分P₁Q₁を、『頂点Aに関する二等辺化線』と呼びます。この二等辺化線は、その頂点の角Aの二等分線に対して常に垂直であることが知られています。

同様に、頂点Bに関する二等辺化線P₂Q₂（点P₂は辺BC上、点Q₂は辺AB上）、頂点Cに関する二等辺化線P₃Q₃（点P₃は辺CA上、点Q₃は辺BC上）を考えます。驚くべきことに、これらの三つの二等辺化線（P₁Q₁, P₂Q₂, P₃Q₃）の長さがすべて等しく、かつ、この三つの線分が一点で交わるような配置が存在します。この、三つの合同な二等辺化線が交わるただ一つの点が、『合同二等辺化線点』なのです。

性質

合同二等辺化線点の位置は、三角形の三線座標（trilinear coordinates）を用いて具体的に表現できます。三角形の各辺a, b, cからの距離の比で表されるこの座標は、以下の式で与えられます。

$$
\cos {\frac {B}{2}}+\cos {\frac {C}{2}}-\cos {\frac {A}{2}} : \cos {\frac {C}{2}}+\cos {\frac {A}{2}}-\cos {\frac {B}{2}} : \cos {\frac {A}{2}}+\cos {\frac {B}{2}}-\cos {\frac {C}{2}} \\
= \quad \tan {\frac {A}{2}}+\sec {\frac {A}{2}}\quad \ \ : \tan {\frac {B}{2}}+\sec {\frac {B}{2}} : \tan {\frac {C}{2}}+\sec {\frac {C}{2}}
$$

この点の重要な性質の一つとして、三角形の『接触三角形（contact triangle）』の『接触三角形』、すなわち二重の接触三角形と、元の三角形が『配景（perspectivity）』の関係にあるとき、その配景の中心が合同二等辺化線点に一致することが挙げられます。これは合同二等辺化線点の幾何学的な作図からも示すことができる性質です。

また、合同二等辺化線点は、『Yff Central triangle』と呼ばれる特定の三角形と、元の三角形の『傍心三角形（excentral triangle）』との間の『クローソン点（Clawson point）』としても特徴づけられます。

等角共役点

幾何学には『等角共役点（isogonal conjugate point）』という概念があります。三角形のある点Pに対し、その等角共役点P*は、各頂点から点Pへ引いた直線とその角の二等分線に関して鏡映な直線を引いたときに、それらが交わる点として定義されます。

合同二等辺化線点の等角共役点として知られているのが、『合同内接円二等辺化線点（Congruent incircles isoscelizers point）』です。この点は、元の三角形の各頂点A, B, Cから引いた二等辺化線が、それぞれ辺と作る小さな三角形の内接円が全て合同となるような点として定義されます。

この合同内接円二等辺化線点は、Encyclopedia of Triangle CentersではX(258)として登録されています。その三線座標は、合同二等辺化線点とは異なる以下の式で表現されます。

$$
\tan({\frac {A}{2}})-\sec({\frac {A}{2}}):\tan({\frac {B}{2}})-\sec({\frac {B}{2}}):\tan({\frac {C}{2}})-\sec({\frac {C}{2}})
$$

合同内接円二等辺化線点は、元の三角形の内心（incenter）と、その傍心三角形の内心を結ぶ直線上に位置するという興味深い性質も持っています。

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