ケーリー＝ディクソンの構成法

ケーリー＝ディクソンの構成法：超複素数系の階層構造

ケーリー＝ディクソンの構成法は、実数体を出発点として、段階的に次元を2倍に増やすことで、多元環（体ではない場合を含む）の系列を構築する手法です。この方法で得られる多元環はケーリー＝ディクソン代数と呼ばれ、複素数、四元数、八元数といった超複素数系が含まれます。

この構成法は、各段階で新しい代数系を直前の代数系から順序対を用いて構成します。各段階で、元の代数系の元の順序対を新たな代数系の元とみなし、新たな乗法と共役を定義することで、高次元の代数系を生成します。

複素数：実数の拡張

最初の段階では、実数 a, b の順序対 (a, b) を用いて複素数を構成します。加法は成分ごとの加法ですが、乗法は以下のように定義されます。

(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)

(a, 0) は実数 a に対応します。重要な演算として共役 (a, b) = (a, -b) が定義され、(a, b)(a, b) = (a² + b², 0) となり、ノルム |z| = √(zz) を定義します。ノルムは非負の実数であり、零でない複素数 z に対しては、z⁻¹ = z / |z|² と逆元も定義できます。

複素数は実数体上の2次元ベクトル空間をなし、実数の持つ可換性という代数的性質は失われます。

四元数：複素数の拡張

次の段階では、複素数 a, b の順序対 (a, b) を用いて四元数を構成します。乗法は以下のように定義されます。

(a, b)(c, d) = (ac - db, da + bc)

ここで、 は複素数の共役を表します。共役は (a, b) = (a, -b) と定義されます。四元数においては、(a, b)(a, b) = (|a|² + |b|², 0) となり、ノルムと逆元が定義できます。

四元数は実数体上の4次元ベクトル空間をなし、四元数の乗法は非可換です。つまり、pq = qp は一般には成り立ちません。

八元数：四元数の拡張

さらに、四元数 p, q の順序対 (p, q) を用いて八元数を構成します。乗法と共役の定義は四元数の場合と同様です。

(p, q)(r, s) = (pr - sq, sp + qr)

八元数は実数体上の8次元ベクトル空間をなし、八元数の乗法は非可換かつ非結合的です。つまり、(pq)r = p(qr) は一般には成り立ちません。

以降の代数系と一般化

八元数の次は十六元数、さらに32元数と、この構成法を無限に繰り返すことができます。各段階で次元は2倍になりますが、代数的性質は段階的に失われていきます。

Albert (1942) は、このケーリー＝ディクソンの構成法を一般化しました。任意の対合環 A を用いて、A ⊕ A 上で積と対合を定義することで、新たな対合環を構成します。この一般化された構成法でも、元の環 A の性質が新しい環に引き継がれるかどうかは、条件によって様々です。例えば、A が可換ならば、構成によって得られた環も可換となりますが、A が結合的であっても、構成によって得られた環は結合的になるとは限りません。

ケーリー＝ディクソンの構成法は、実数から出発して、段階的に高次元の超複素数系を生成する強力な手法です。しかし、高次元の代数系になるにつれて、代数的性質は失われていくことを理解することが重要です。この構成法は、代数学、特に多元環論において重要な役割を果たしています。

もう一度検索