同程度連続

同程度連続性（どうていど れんぞく、Equicontinuity）とは

同程度連続性とは、解析学において、関数の列や集合が持つ性質の一つです。個々の関数が連続であることに加えて、その連続性の「度合い」が関数全体で一様に制限されている状態を指します。この性質は、関数列の収束と極限関数の性質を議論する上で非常に重要となります。

連続性との違い

関数が連続であるという性質は、個々の関数ごとに定義されます。関数 $f$ がある点 $x$ で連続であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、適切な $\delta > 0$ を選べば、$|x - x'| < \delta$ となる任意の点 $x'$ に対して $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$ が成り立つことをいいます。ここで選ぶ $\delta$ は、$\varepsilon$ だけでなく、関数の種類 $f$ や点の位置 $x$ に依存して決めることができます。

一方、同程度連続性は関数の「列」や「集合」に対して定義される性質です。関数列 $(f_n)$ が同程度連続であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ と任意の点 $x$ に対して、適切な $\delta > 0$ を選べば、全ての自然数 $n$ と $|x - x'| < \delta$ となる任意の点 $x'$ に対して $|f_n(x) - f_n(x')| < \varepsilon$ が成り立つことをいいます。ここで重要なのは、選ばれる $\delta$ が $\varepsilon$ と点 $x$ には依存しますが、関数の番号 $n$ には依存しないという点です。

さらに強い概念として、「一様な同程度連続性」があります。関数列 $(f_n)$ が一様に同程度連続であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、適切な $\delta > 0$ を選べば、全ての自然数 $n$ と $|x - x'| < \delta$ となる全ての点 $x, x'$ に対して $|f_n(x) - f_n(x')| < \varepsilon$ が成り立つことをいいます。この場合、$\delta$ は $\varepsilon$ のみに依存し、関数の番号 $n$ や点の位置 $x$ のどちらにも依存しません。

単純な連続性では、たとえ関数列の各関数が連続であっても、列全体としての連続性の「度合い」はバラバラである可能性があります。例えば、$f_n(x) = \operatorname{Arctan}(nx)$ という関数列は、各 $n$ に対して連続ですが、$n$ が大きくなるにつれて原点付近での変化が急峻になり、連続性の度合いが一様ではなくなります。この関数列は、$n \to \infty$ のとき、原点で不連続な符号関数の $\pi/2$ 倍に各点収束します。この例からわかるように、各点収束する関数列の極限関数は、一般には連続になるとは限りません。

性質と定理

しかし、関数列が同程度連続であるという条件が加わると、状況は大きく変わります。同程度連続な関数列が各点収束するならば、その極限関数は必ず連続になります。これは解析学における重要な結果の一つです。

定理1: 関数列 $(f_n)$ が同程度連続であるとする。もし任意の点 $x$ で $f_n(x)$ がある関数 $f(x)$ に収束するならば、$f$ は連続である。

この定理は、関数列が定義域全体の稠密な部分集合上で各点収束すれば成り立つことも知られています。

定義域が閉区間 $[0, 1]$ のようなコンパクトな空間である場合、同程度連続性からより強い結論が得られます。閉区間上の同程度連続な関数列は、自動的に一様に同程度連続になります。

定理3: 閉区間 $[0, 1]$ 上の実数値関数列 $(f_n)$ が同程度連続ならば、その列は一様に同程度連続である。

さらに、閉区間上の同程度連続な関数列が各点収束するならば、その収束はより強い意味での「一様収束」になります。

定理4: 閉区間 $[0, 1]$ 上の実数値関数列 $(f_n)$ が同程度連続であり、各点 $x$ で $f_n(x)$ が $f(x)$ に収束するならば、$(f_n)$ は $f$ に一様収束する。

また、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理が点列から収束部分列を取り出せることを保証するように、関数列に対しても同様の存在定理があります。これがアスコリ＝アルツェラの定理です。

アスコリ＝アルツェラの定理: コンパクトな距離空間 $K$ 上の関数集合 $S$ が（一様）閉集合であり、各点ごとに有界であり、かつ同程度連続であるならば、$S$ は一様ノルムに関してコンパクトである。特に、コンパクト空間上の同程度連続でかつ各点毎に有界な関数列からは、一様収束する部分列を選ぶことができる。

この定理は、関数空間のコンパクト性を特徴づける基本的な結果であり、解析学の様々な分野で応用されます。

一般化

同程度連続性の概念は、実数値関数に限らず、一般的な距離空間の間の写像に対しても同様に定義できます。距離空間 $X$ から距離空間 $Y$ への写像の列 $(f_n)$ が同程度連続であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ と $x \in X$ に対し、ある $\delta > 0$ が存在して、全ての自然数 $n$ と $d_X(x, x') < \delta$ を満たす任意の $x' \in X$ に対して $d_Y(f_n(x), f_n(x')) < \varepsilon$ となることをいいます。ここで、$d_X$ および $d_Y$ はそれぞれの空間の距離関数です。一様な同程度連続性も同様に定義されます。この一般化された定義においても、同程度連続な写像列の各点収束極限が連続であるという性質は成り立ちますが、定理2のように収束域が定義域全体に拡張される性質は、終空間 $Y$ が完備である場合にのみ成り立ちます。

同程度連続性は、関数解析や偏微分方程式論など、現代解析学において基礎的かつ強力な道具として用いられています。

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