固有射

固有射（Proper Morphism）

固有射は、スキームの圏において定義される重要な概念です。これは、複素解析空間論における固有写像の概念を代数幾何学の枠組みに持ち込んだものと言えます。スキーム間の射 $f: X \to Y$ が固有射であるとは、以下の三つの性質を全て満たすことを指します。

1. 分離的（separated） であること。
2. 有限型（of finite type） であること。
3. 絶対閉（universally closed） であること。

このとき、XはY上固有であるとも表現されます。特に、体k上の代数多様体Xが、構造射X $\to$ Spec(k)に関して固有である場合、「k上固有」あるいは「k完備」と呼ばれます。

絶対閉性について

固有性の定義に含まれる「絶対閉」とは、射 $f: X \to Y$ が、基底となるスキーム Y 上のどのような基底変換（任意のスキーム $Z$ から $Y$ への射を考えること）を行っても、そのファイバー積 $X \times_Y Z$ から $Z$ への自然な射影が位相空間の連続写像として閉集合を閉集合に移す性質（閉写像）を持つことを意味します。

固有性の性質と特徴付け

固有射は、その重要な性質により代数幾何学において中心的な役割を果たします。いくつかの主要な性質を以下に示します。

二つの固有射の合成は再び固有射となります。
固有射は基底変換の下で保たれます。すなわち、f: X $\to$ Y が固有射であるとき、任意の射 g: Z $\to$ Y に対し、ファイバー積 $X \times_Y Z$ から Z への射影は固有射です。
固有性は基底スキームのザリスキー位相や、より精密なfpqc位相に関して局所的な性質です。例えば、体 k 上のスキーム X が k 上固有であることと、その拡大体 E への基底変換 $X_E$ が E 上固有であることは同値です。
閉埋入は常に固有射です。
より一般的に、有限射は固有射です。これは上昇定理などから導かれます。
逆に、スキームの射が有限射であることは、それが固有かつ準有限（quasi-finite）であることと同値です。これは、局所ネータースキーム上の射についてはグロタンディークによって、一般的な場合はドリーニュによって示されました。
スキーム S 上固有なスキーム X から、S 上分離的なスキーム Y へのS上の射の像は、Y の閉部分集合になります。これは、コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続写像の像が閉集合になるという、位相空間論の基本的な定理の類似です。
局所ネータースキーム間の固有射は、連接層を高次順像に移しても連接性を保ちます（グラウエルトとレンメルトによる複素解析の場合の成果の類似）。特に、体 k 上固有なスキーム X の正則関数のなす環 $\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ は、有限次元の k ベクトル空間となります。これは、k[x]のような無限次元となるアフィン直線の場合とは対照的です。
複素数体 $\mathbb{C}$ 上の有限型スキーム X については、その複素数値点集合 $X(\mathbb{C})$ に古典的な位相を入れたものがコンパクトかつハウスドルフ空間になることが、X が $\mathbb{C}$ 上固有であるための必要十分条件となります。より広く、$\mathbb{C}$ 上分離的かつ有限型な射 $f: X \to Y$ が固有であることと、誘導される位相空間の写像 $f: X(\mathbb{C}) \to Y(\mathbb{C})$ が固有（任意のコンパクト集合の逆像がコンパクト）であることは同値です。

固有性の付値判定法

固有性を判定するための強力な道具として、付値判定法があります。これはシュヴァレーに遡る考え方で、特にネータースキーム間の有限型射 $f: X \to Y$ については、f が固有であることと、任意の離散付値環 R、その商体 K、そして K 上の X の点 x ∈ X(K) が与えられたとき、その像 $f(x)$ が R 上定義される（つまり、Y から Spec(R) への射が誘導される）ならば、x の R 上の点 $\overline{x} \in X(R)$ への「持上げ」が一意的に存在することが同値である、と述べられます。より一般的な付値環に対しても同様の判定法が成り立ちます。

この判定法は、幾何学的には、Y 上の「穴の開いた曲線」が X へ持ち上げられたとき、その穴を X の中で一意的に「埋める」ことができるかどうかを示唆しています。これは、位相空間における「完備性」や「コンパクト化」の概念と直感的に結びつきます。

幾何的な直観

固有性の付値判定法を理解するために、例えば複素数体上の形式的冪級数環 $\mathbb{C}t$ のスペクトル Spec($\mathbb{C}t$) を「無限小の円板」、その商体 $\mathbb{C}((t))$ のスペクトル Spec($\mathbb{C}((t))$) を「原点を除いた円板」と見なすことができます。X から Y への射が固有であることは、Y 上のこの「円板」への射 Spec($\mathbb{C}t$) $\to$ Y と、「原点を除いた円板」からの X への射 Spec($\mathbb{C}((t))$) $\to$ X が与えられたとき、Spec($\mathbb{C}t$) から X への射で図式を可換にするものが一意的に存在することに対応します。つまり、X の中で「原点を除いた円板」に対応する部分を、原点も含めた完全な「円板」に一意的に「完備化」できるということです。

アフィン直線 $\mathbb{A}^1$ が体 k 上固有でないことは、この判定法で説明できます。$\mathbb{A}^1 \setminus \{0\} = \text{Spec}(k[t, t^{-1}])$ から $\mathbb{A}^1 = \text{Spec}(k[t])$ への自然な包含射は固有ではありません。これは、例えば $k((t))$ から $k[t, t^{-1}]$ への射を、 $kt$ から $k[t, t^{-1}]$ への射に持ち上げることが一般に不可能であることから理解できます。

形式スキームにおける固有射

局所ネーター形式スキーム間にも固有射の概念が定義されます。射 $f: \mathfrak{X} \to \mathfrak{S}$ が固有であるとは、f が進射（定義イデアルを定義イデアルに写す）であり、かつ誘導される「特殊ファイバー」間のスキームの射 $f_0: X_0 \to S_0$ が固有であることを言います。形式スキームの固有射についても、連接層の高次順像が連接層になるという重要な連接定理が成り立ちます。

固有射