圭 (数学)

圭、カンドル、ラックの概念とその歴史

数学における圭（けい）、カンドル（分配亜群）、ラックは、それぞれ独自の性質を持つ構造であり、特に結び目理論と密接に関連しています。これらは、結び目の局所的な変形を考える際に重要な役割を果たします。

歴史的背景

これらの概念は1940年代から1980年代にかけて発展しました。1942年、高崎光久によって圭が対称変換の代数として提案されました。さらに1959年には、ジョン・コンウェイとゲーヴィン・レイドの間でラックについての最初の研究が行われ、彼らはこの構造に対する興味を共有していました。コンウェイはこの構造を「wrack」と名付け、後に「rack」として広まりました。

1980年代になると、これらの概念は再び注目され、デーヴィド・ジョイスは「quandle」という用語を1982年に導入し、同年にはセルゲイ・ヴラジーミロヴィチ・マトヴェーエフが分配亜群について論文を発表しました。

各構造の詳細

圭

圭は、特定の条件を満たす二項演算を持つ集合として定義されます。その条件は以下の通りです。

1. 反射律: 任意の元 a に対して、a ⋆ a = a が成り立つ。
2. 対合性: 元 a と b に対して、(a ⋆ b) ⋆ b = a が成り立つ。
3. 右分配律: (a ⋆ b) ⋆ c = (a ⋆ c) ⋆ (b ⋆ c) が成り立つ。

このように定義された圭は、代数的な性質を持たないことから、通常の乗法とは異なり、特有の数学的対象として扱われます。

カンドル

カンドルは、次の条件を満たす二項演算を持つ代数系であり、その条件は次の通りです。

1. 反射律: カンドル Q 内の任意の元 a に対して、a ⋆ a = a が成り立つ。
2. 右可逆性: 任意の元 a と b に対して、x ⋆ a = b となる x が常に存在する。
3. 右分配律: (a ⋆ b) ⋆ c = (a ⋆ c) ⋆ (b ⋆ c) が成り立つ。

カンドルは、より弱い条件を持つため、圭の概念を拡張し、より広範囲な状況に適用可能です。具体的には、圭はカンドルの一部の特例と見なすことができます。

ラック

ラックは、反射律を省いた二項演算を持って定義されます。主な条件は以下の通りです。

1. 右可逆性: 任意の元 a、b に対して、x ⋆ a = b が成り立つ x が存在する。
2. 右分配律: (a ⋆ b) ⋆ c = (a ⋆ c) ⋆ (b ⋆ c) が成り立つ。

この構造はカンドルよりもさらに一般的であり、圭やカンドルのような条件が不要です。そのため、結びつけやねじれなど、より複雑な形状を扱うことができます。

まとめ

圭、カンドル、ラックの各概念は、それぞれ異なる数学的構造を表現し、結び目理論において重要な役割を果たします。これらの形式的性質を理解することで、結び目の存在や変形に関するさまざまな問題を解決する手助けとなるでしょう。これらの概念は、抽象代数学の中で重要な成果を上げており、さらなる研究の対象となっていくことが期待されます。

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