大域次元

大域次元の概念とその重要性

環 A の大域次元は、環論とホモロジー代数において重要な役割を果たす概念です。これは、すべての左（または右）A-加群の射影次元の最大値として定義されます。大域次元はしばしば、ホモロジー的な不変量として理解され、一般的に非負の整数または無限大として表現されます。記号としては、左大域次元を l. gl. dim A、右大域次元を r. gl. dim A とし、両者が等しい時は gl. dim A として示されます。

非可換環における大域次元

一般の非可換環 A においては、左と右の大域次元は異なる場合があります。しかし、A が左かつ右ネーター環であるとき、これらの大域次元は一致し、弱大域次元と同じ値を取ります。つまり、左と右の大域次元の違いが解消され、単一の大域次元として扱うことが可能になります。こうした性質により、大域次元は可換ネーター環の研究において非常に重要な概念とされています。

大域次元を持つ環の例

例えば、A = k[x1, ..., xn] が体 k 上の n 変数多項式環である場合、この環の大域次元は n に等しいことが知られています。この事実は、ダフィット・ヒルベルトによる多項式環のホモロジー的特性に関する研究に基づいています。具体的には、彼のsyzygy定理がこの関連性を示しています。

さらに、R を有限の大域次元 d のネーター環とし、A = R[x] を R 上の一変数多項式環とする場合、A の大域次元は d + 1 になります。このように、大域次元は環の性質を理解する上で重要な手掛かりとなります。また、特定の条件下では、大域次元が無限大を取ることもあります。例えば、自然数 n が平方因子を持たない場合、環 Z/nZ の大域次元は無限大になります。また、体 k の標数が有限群 G の位数を割り切るとき、群環 kG の左大域次元も無限大になります。

大域次元の性質と特徴づけ

環 A の右大域次元は、次のような各種の集合の最大値と等しいと定義されます：すべての巡回右 A-加群の射影次元、すべての右 A-加群の射影次元、すべての右 A-加群の移入次元、さらには「sup{ d≥0 : Extd(M, N) ≠ 0 for some M, N ∈ Mod A }」といった形で特徴付けることができます。同様に、A の左大域次元は右大域次元の定義を左側に適用することで導出することができます。

大域次元にまつわる興味深い性質の一つは、左または右の大域次元が0である時、それが半単純であることと同値であることです。また、左（右）大域次元が1以下である場合は、その環が左（右）遺伝環であることを意味します。特筆すべき点は、体でない可換単項イデアル整域も大域次元が1を持つ点です。

セールの定理とその影響

ジャン＝ピエール・セールの重要な定理では、可換ネーター局所環 A が正則であるためには、大域次元が有限である必要があることが証明されています。更に、この場合において大域次元は A のクルル次元と一致します。これはホモロジー的手法を可換代数に適用するための新たな道を開くものであり、環論や代数幾何の様々な分野での研究の発展に貢献しています。

まとめ

大域次元は環の性質や構造を明らかにするために用いる強力な道具です。左および右の大域次元の性質を理解することで、環の加群の構造をより深く探ることができ、ホモロジー代数の進展にも寄与します。

もう一度検索