単項イデアル整域

単項イデアル整域

代数学の基礎となる概念の一つに、単項イデアル整域（Principal Ideal Domain, PID）があります。この整域は、任意のイデアルが単項イデアルで構成されている可換整域に特有です。単項イデアルとは、ある元素を用いて生成されるイデアルのことであり、特にPIDではそれが整域全体に対して成り立ちます。

一般に、任意のイデアルが単項イデアルとなる可換環を単項イデアル環と呼びます。この場合、整域である必要はありませんが、しばしば文献では「主環」と記載されることがあり、混乱を招くこともあります。特にブルバキの著作ではこの用語の使われ方に注意が必要です。

単項イデアル整域の例

何が単項イデアル整域であるか、いくつかの具体例を挙げて説明しましょう。最も基本的な例は、整数環 \\( ext{Z}\\) です。これは全てのイデアルが単項イデアルであることが示されています。他にも、ガウス整数環 \\( ext{Z}[i]\\)、アイゼンシュタイン整数環 \\( ext{Z}[ ext{ω}]\\)、素イデアルを使った整数環の局所化 \\( ext{Z}(p)\\) などが挙げられます。

また、任意の体 \\( ext{K}\\) の一変数多項式環 \\( ext{K}[X]\\) もPIDとなり、興味深いことに、これが成り立つ時には、環 \\( ext{A}\\) が体であることが必要条件となっています。

一方、単項イデアル整域でない整域の例も存在します。例えば、一変数に対する整数係数の多項式環 \\( ext{Z}[X]\\) では、イデアル \\((2, X)\\) が単項イデアルではないため、PIDではありません。二変数多項式環 \\( ext{K}[X, Y]\\) も同様に、イデアル \\((X, Y)\\) はその性質を満たしません。

性質

単項イデアル整域にはいくつかの重要な性質があります。まず、すべての単項イデアル整域はネーター環に属します。また、異なる素元に基づくイデアルはその性質において相互に関係しています。特に、任意の零でない元素 \\((p)\\) について「素元」、「素イデアル」、「極大イデアル」が相互に同値であることが知られています。

他にも、単項イデアル整域は一意分解環、整閉整域、デデキント環であり、ユークリッド環は同様の特性を持っています。加えて、加群に関する性質も重要です。例えば、Rを単項イデアル整域とした場合、任意の有限生成加群は巡回加群の直和に分解されるという結果があります。

加群の構造

単項イデアル整域R上の有限生成加群Mについては、次のように記述できます。Mは一組の直和として表すことができ、その中にはMの中に含まれる既約元に基づく部分加群が存在します。このとき、Mとその部分加群は直和の形で整理することが可能です。特に、有限生成加群の特異な性質から、自由加群の部分加群もまた自由になりますが、一般的な環ではこの性質が成り立たないことに留意する必要があります。

結論

単項イデアル整域は代数学における基本的な構造の一つであり、その理解は様々な他の数学的概念にも関連しています。これらの性質や構造を知ることは、さらなる数学的研究や応用においても非常に重要です。特に、加群理論や環論の分野での応用が期待されています。知識を深めるためには、参考文献を通じて学ぶことが推奨されます。

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