大星型切頂十二面体

大星型切頂十二面体：幾何学の神秘

大星型切頂十二面体、あるいは擬切頂大星型十二面体と呼ばれるこの立体は、一様多面体の中でも特に複雑で美しい形状をしています。その名の通り、大星型十二面体の各頂点を切り落とした多面体であり、切り口は正三角形となりますが、外観上は3枚の凧形のように見えます。大星型十二面体の星型五角形は、この操作によって星型十角形へと変化します。

この多面体は、切頂十二面体の正十角形を正10/3角形に置き換えた図形と捉えることも可能です。一見複雑な形状ですが、その構成要素は比較的シンプルです。正三角形20枚と星型十角形12枚から構成され、辺の数は90、頂点の数は60個あります。それぞれの頂点形状は、3, 10/3, 10/3 と記述されます。

幾何学的な性質

構成面: 正三角形 20枚、星型十角形 12枚
辺: 90
頂点: 60
頂点形状: 3, 10/3, 10/3
シュレーフリ記号: t{5/3,3}
ワイソフ記号: 2 3 | 5/3

シュレーフリ記号とワイソフ記号は、この多面体の幾何学的性質を簡潔に表すための数学的な記号です。これらの記号を用いることで、大星型切頂十二面体の対称性や構成要素を正確に表現できます。

関連する立体

大星型切頂十二面体は、他の幾何学的な立体とも密接に関連しています。例えば、その枠（立体を構成する骨組み）は、正方形が黄金長方形になっている斜方二十・十二面体と同一です。また、その双対多面体は、大三方二十面体となります。双対とは、各面の重心を頂点として、各頂点を面とした多面体のことで、元の多面体と密接な関係にあります。

さらに、大星型切頂十二面体と同じ枠を持つ立体として、小二十・二十・十二面体、小二重三角十二・二十・十二面体、小十二・二十面体などが挙げられます。これらの立体は、大星型切頂十二面体と同様に、複雑で美しい幾何学的構造を持っています。

外接球半径

一辺の長さを2とした場合、大星型切頂十二面体の外接球半径は、以下の式で表されます。

√((37 - 15√5)/2)

この式は、大星型切頂十二面体の幾何学的性質を反映しており、その複雑さを示す一端となっています。

結論

大星型切頂十二面体は、その複雑で美しい形状から、数学や幾何学の研究対象として非常に興味深い立体です。正三角形と星型十角形という構成要素の組み合わせ、そして他の多面体との関連性など、様々な角度から研究することで、幾何学の世界の奥深さを垣間見ることができます。 この多面体の研究は、数学的探求だけでなく、芸術やデザインへの応用にも繋がる可能性を秘めています。

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