シュレーフリ記号

シュレーフリ記号は、正多胞体を表現するための簡潔で強力な記法であり、数学、特に幾何学の分野で広く用いられています。この記法は、19世紀のスイスの数学者、ルートヴィヒ・シュレーフリによって考案されました。

シュレーフリ記号の基本

シュレーフリ記号は、正多胞体を `{p, q, r, ...}` のような形式で表現します。ここで、`p, q, r, ...` は、多胞体の構造に関する情報を示す数値です。

• - 線分: 1次元の正多胞体である線分のシュレーフリ記号は `{}` です。
• - 正多角形: 2次元の正多角形、例えば正 `p` 角形のシュレーフリ記号は `{p}` です。
• - 正多胞体: 3次元以上の正多胞体のシュレーフリ記号は、再帰的に定義されます。各「ピーク」に、`n-1` 次元の正多胞体ファセットが `q` 個集まる `n` 次元正多胞体のシュレーフリ記号は、`{p1, p2, ..., pn-2, q}` となります。

ここで、ピーク、リッジ、ファセットとは、多胞体の要素を表します。具体的には、`n` 次元多胞体において、ピークは `n-3` 次元、リッジは `n-2` 次元、ファセットは `n-1` 次元の要素です。例えば、多面体（3次元多胞体）では、頂点、辺、面がそれぞれピーク、リッジ、ファセットに対応します。また、4次元多胞体では、辺、面、セルが対応します。

シュレーフリ記号において重要なのは、ピークに集まるファセットの個数です。リッジに集まるファセットは常に2個であり、正多胞体の特徴を反映しないためです。ピークに集まるファセットの個数は、多胞体の構造を最も簡潔に表現できます。また、星型多角形のように密度を持つ場合、数値は分数で記述されます。

シュレーフリ記号の性質

`n` 次元正多胞体とそのシュレーフリ記号 `{p1, p2, ..., pn-1}` には、以下の性質があります。

• - 数値の個数は `n-1` 個です。
• - 正多胞体では、数値は全て整数ですが、星型正多胞体では一つが分数となります。
• - 3次元以上の狭義の正多胞体では、数値は `3, 4, 5` の3種類しか現れません。星型正多胞体では `5/2` が、ユークリッド空間充填形では `6` が加わります。5次元以上では `3, 4` の2種類しか現れません。
• - `m` 次元要素は、`m` 次元正多胞体 `{p1, p2, ..., pm-1}` と表現できます。
• - `m` 次元要素の近傍の適切な `n-m-1` 次元超断面は、`n-m-1` 次元正多胞体 `{pm+2, pm+3, ..., pn-1}` と表現できます。
• - 双対多胞体は、`{pn-1, pn-2, ..., p1}` となります。

特に、正多面体とそのシュレーフリ記号 `{p, q}` には以下の性質があります。

• - 面は正 `p` 角形です。
• - 各頂点には `q` 個の面が集まっています。つまり、頂点近傍の適切な平面での断面は正 `q` 多角形です。
• - 双対多面体は `{q, p}` です。

シュレーフリ記号の例

以下に、シュレーフリ記号の具体的な例を挙げます。

2次元多角形

• - 正 `n` 角形: `{n}`
• - 正 `n/m` 角形: `{n/m}`

2次元多角形による平面充填

• - 正三角形による平面充填: `{3, 6}`
• - 正方形による平面充填: `{4, 4}`
• - 正六角形による平面充填: `{6, 3}`

3次元多面体

• - 正四面体: `{3, 3}`
• - 正六面体（立方体）: `{4, 3}`
• - 正八面体: `{3, 4}`
• - 正十二面体: `{5, 3}`
• - 正二十面体: `{3, 5}`
• - 小星型十二面体: `{5/2, 5}`
• - 大十二面体: `{5, 5/2}`
• - 大星型十二面体: `{5/2, 3}`
• - 大二十面体: `{3, 5/2}`

3次元多面体による空間充填

• - 立方体による空間充填: `{4, 3, 4}`

4次元多胞体

• - 正五胞体: `{3, 3, 3}`
• - 正八胞体: `{4, 3, 3}`
• - 正十六胞体: `{3, 3, 4}`
• - 正二十四胞体: `{3, 4, 3}`
• - 正百二十胞体: `{5, 3, 3}`
• - 正六百胞体: `{3, 3, 5}`
• - 大壮星型百二十胞体: `{5/2, 3, 3}`
• - 壮六百胞体: `{3, 3, 5/2}`
• - 大星型百二十胞体: `{5/2, 3, 5}`
• - 壮百二十胞体: `{5, 3, 5/2}`
• - 壮星型百二十胞体: `{5/2, 5, 5/2}`
• - 小星型百二十胞体: `{5/2, 5, 3}`
• - 二十面体百二十胞体: `{3, 5, 5/2}`
• - 大二十面体百二十胞体: `{3, 5/2, 5}`
• - 大壮百二十胞体: `{5, 5/2, 3}`
• - 大百二十胞体: `{5, 5/2, 5}`

4次元多胞体による4次元空間充填

• - 正八胞体による4次元空間充填: `{4, 3, 3, 4}`
• - 正十六胞体による4次元空間充填: `{3, 3, 4, 3}`
• - 正二十四胞体による4次元空間充填: `{3, 4, 3, 3}`

一般次元 (n >= 5)

• - n-正単体: `{3, 3, ..., 3}` (`3` が `n-1` 個)
• - n-正測体: `{4, 3, 3, ..., 3}` (`3` が `n-2` 個)
• - n-正軸体: `{3, 3, ..., 3, 4}` (`3` が `n-2` 個)
• - n-正測体による n-次元空間充填: `{4, 3, 3, ..., 3, 4}` (`3` が `n-2` 個)

直積
複数のシュレーフリ記号を直積で表すことで、より複雑な多胞体を表現できます。

• - 正 `p` 角柱: `{ } × {p}`
• - 直方体: `{ } × { } × { }`

拡張シュレーフリ記号

シュレーフリ記号を拡張した拡張シュレーフリ記号は、一様多胞体を表現することができます。一様多胞体とは、各ファセットが低次元の一様多胞体であり、各頂点の近傍が合同である多胞体です。

例えば、3次元の一様多面体には、正多面体、半正多面体、アルキメデスの正角柱、アルキメデスの反角柱などが含まれます。

一様多胞体は、ディンキン図形や頂点形状など、シュレーフリ記号以外の記法でも表現できます。

拡張シュレーフリ記号の例

• - アルキメデスの `p` 角柱: `t{2, p}`
• - アルキメデスの反 `p` 角柱: `s{2, p}`

シュレーフリ記号は、多胞体の構造を理解し、分類するための強力なツールです。この記法を理解することで、複雑な幾何学的対象をより深く探求することが可能になります。

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