歪度

歪度（Skewness）についての理解

確率論及び統計学において、歪度とはデータの分布がどの程度非対称であるかを示す重要な指標です。具体的には、確率密度関数や確率関数のグラフが、左右対称でない場合に、その「ゆがみ」の程度を数値化します。この分類は日本産業規格（JIS）でも規定されており、歪度は平均値を中心とした3次モーメントを標準偏差の3乗で割った比率として定義されています。

これに加えて、分布の尖りを示す指標である尖度と併せて用いることが一般的です。特に金融データなどの解析では、これらの指標を使用することが多く、データの特性を把握するのに役立ちます。

標準化とモーメント

分布の特性を適切に示すためには、期待値と分散がしばしば使われますが、さらに3次モーメントと4次モーメントも用いることで、異なる分布型を比較することができます。これらのモーメントは、平均値と分散の影響を取り除くように標準化されます。

標準化された確率変数Zは、次のように表されます。

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

ここで、$\mu$は期待値、$\sigma$は標準偏差です。これにより、Zの期待値は0、分散は1となり、平均と分散の影響を除去することができます。

Zの3次モーメントは歪度を計算する際の基礎となり、特に標準正規確率変数は左右対称であるため、歪度は0となります。このことから、正の歪みを持つ分布と負の歪みを持つ分布とが区分けされます。

また、Zの4次モーメントから計算される尖度は、分布の尖り具合を測定し、正規分布における尖度の関数は常に0です。分布の尖度が正であれば「急尖的」と呼ばれ、負であれば「緩尖的」となります。例えば、対数正規分布は常にストレートで尖度が3を超えます。

推定方法

歪度や尖度を推定する手法として、母集団の分布特性を調べる際には、標本から計算されたモーメントを使うことが一般的です。具体的には、3次の標本モーメントと4次の標本モーメントを計算し、これらを基に歪度$b_{1}^{1/2}$や尖度$b_{2}$を推定します。母集団が正規分布であるか否かを判断する方法の一例に、ジャック–ベラ検定があります。この検定によって、標準化された正規確率変数の歪度が0に近いか、尖度が3に近いかどうかを調べることができます。

ボウマン=シェントンによる正規性検定の指標は、次のように示されます：

$$JB = n \frac{b_{1}^{2}}{6} + n \frac{(b_{2} - 3)^{2}}{24}$$

ここの$JB$は帰無仮説が正規分布である場合、自由度2のカイ二乗分布に漸近的に従います。これにより、確率分布の形状をより精密に分析できるのです。

参考文献

• - 西岡康夫『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』オーム社、2013年。
• - 日本数学会『数学辞典』岩波書店、2007年。
• - JIS Z 8101-1:1999 日本規格協会、1999年。
• - 伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1942年。

このように、歪度と尖度はデータ分布を理解するための強力なツールであり、さまざまな実務の場面で広く活用されています。

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