定幅図形

定幅図形とは

定幅図形とは、どの方向から測っても幅（差し渡し）が一定であるという特徴を持つ図形のことです。言い換えれば、定幅図形を平面上で転がした際に、その高さが変化しない図形を指します。ただし、重心の高さは変化しても構いません。

定幅図形は、2次元の場合は定幅曲線、3次元の場合は定幅曲面と呼ばれます。定幅曲線の代表例としては、円やルーローの多角形が挙げられます。また、定幅曲面としては、球がその代表例です。

定幅曲線の周長と面積

バルビエの定理

幅が等しい定幅曲線は、その周長も一定です。具体的には、幅が s である定幅曲線の周長は、直径 s の円周と等しくなります。これは、以下の式で表されます。

πs

この定理はバルビエの定理として知られています。

面積

周長が同じ定幅曲線でも、面積は異なる場合があります。円は、同じ周長を持つ図形の中で最大の面積を持つため、幅 s の定幅曲線の中でも円の面積が最大となります。その面積は以下の通りです。

(π/4)s^2 ≈ 0.785398s^2

一方、面積が最小となるのはルーローの三角形です。これはブラシュケ・ルベーグの定理として知られています。ルーローの三角形の面積は以下の式で表されます。

(1/2)(π - √3)s^2 ≈ 0.704771s^2

この値は、同じ幅の円の面積の約 0.897342 倍です。

定幅図形の応用

定幅曲線は、その特性から様々な分野で応用されています。その代表例としてマンホールの蓋が挙げられます。

マンホールの蓋は、落下防止のために、穴の差し渡しの最大幅が蓋の形状の最小幅よりも小さくなるように設計する必要があります。しかし、単純な形状の蓋では、穴よりもかなり大きな面積を占有してしまいます。そこで、定幅曲線（特に円）を蓋の形状として採用することで、蓋の大きさと穴の大きさを近づけることができ、効率的な設計が可能となります。

定幅図形の問題点

円筒や球を作りたい場合に、「2枚の平面を一定の幅にセットして、その間で転がす」という方法が考えられます。しかし、この方法では、ベアリングなど高い精度が求められる場合には問題が生じる可能性があります。

中心がずれないように工夫しない限り、真円や真球ではなく、ルーローの多角形のような形状になってしまうことがあります。そのため、高精度の円筒や球を製造する場合には、より精密な加工技術が必要となります。

まとめ

定幅図形は、その独特な特性から、工学的な応用や数学的な興味の対象として、幅広く研究されています。その応用例は多岐にわたり、今後も新たな発見や応用が期待されます。

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