径

径の定義とその特徴

幾何学の基礎を学ぶ際、円やその他の図形における「径」という概念は非常に重要です。この用語は、特に円や球、または平面上の凸図形に関連してよく使われます。径は、ギリシャ語の「διάμετρος」から派生しており、直訳すると「大きさを越える」という意味になります。

円の径

円における直径は、その円の中心を通り、円周上にある二点を結ぶ線分です。この線分は、円の中で最も長い弦でもあり、最長の直線距離を示します。直径の長さは、円の半径の二倍に等しく、これは幾何的な特性として非常に重要です。

凸図形における径

円のような特定の図形だけでなく、平面上の凸図形全般においても径を定義することができます。この場合、径とは、図形の両側から接する二本の平行線の間の最長距離を指します。この距離を求める際には、回転キャリパー法などの数学的手法が用いられます。特に、ルーローの三角形のような定幅の形状では、任意の平行接線が同じ長さを持つため、径と幅が同一になります。

一般的な定義

径の概念は円や球だけに限らず、より一般的なn次元図形にも適用されます。距離空間の部分集合に対して、径はその部分集合内の任意の点の対間の距離の上限として定義されます。数式で表すと、次のようになります：

$$
ext{diam}(A) := ext{sup} \{ d(x, y) \mid x, y \in A \}
$$

ここで、全ての点の組み合わせの距離を求めて、その最大値を取ります。特に、部分集合が空である場合の径の取り扱いについては文献により異なるため注意が必要です。一部の文献では、空集合の径を負の無限大とすることもありますが、他の文献では径を0と定義することもあります。

特殊な定義

また、特定の幾何学的形状に対する特別な定義も存在します。例えば、楕円においては、中点を通る任意の弦が径と呼ばれます。最長の径は「長径」とも言われ、両端の楕円の接線が平行である特定の径は「共軛径」と称されます。これらの用語は、あくまで円や楕円など特定の図形に関連した定義であり、一般的な径の概念とは異なることに留意する必要があります。

直径記号と製図における規定

直径を表すための記号は「⌀」であり、これは「直径記号（diameter sign）」として知られています。日本の製図においては、寸法数値の前にこの記号を用いることが一般的です。直径記号は、ラテン文字のØと同様ではなく、「まる」または「ふぁい」と読むことが推奨されています。これは文献により異なるため、規定を確認することが重要です。

結論

径は、単に図形のサイズを示すだけでなく、幾何学的な特性を深く理解するための基本的な概念です。円や球、あるいは平面上の凸図形の解析においては不可欠な要素であり、数学の多様な分野でも広く応用されています。

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