ルーローの三角形

ルーローの三角形とは

ルーローの三角形は、正三角形の各頂点を中心として、その正三角形の一辺を半径とする円弧で結んで作られる図形です。この図形は、見た目が三角形に似ていますが、曲線を含むため、厳密には多角形ではありません。ドイツの工学者フランツ・ルーローによって研究されたことから、この名前が付けられました。

一般化された図形

ルーローの三角形の作図法は、正奇数角形にも適用できます。これにより、ルーローの多角形と呼ばれる図形が生成されます。ルーローの三角形は、この中で最も辺と頂点の数が少ない図形です。また、同様の作図を立体で行うと、ルーローの四面体が得られます。

ルーローの三角形の性質

ルーローの三角形は、定幅図形という重要な性質を持っています。これは、図形のどの方向の幅も一定であることを意味します。この性質から、ルーローの三角形は、高さが一定のまま転がることができ、回転しても幅が変わらないという特徴があります。しかし、重心の高さが一定ではないため、円板のようにスムーズに転がるわけではありません。それでも、曲線を含む図形であるため、通常の三角形よりも滑らかに転がります。

数学的特徴

ルーローの三角形の幅をsとした場合、その周長は、幅sの円の円周に等しく、πsとなります。また、弧の長さは(π/3)sと表されます。面積は、(1/2)(π-√3)s²と計算でき、これは、辺長sの正三角形の面積の約1.63倍、直径sの円の面積の約0.90倍です。

興味深いことに、ルーローの三角形は、同じ幅を持つ定幅図形の中で最小の面積を持つ図形です。一方で、最大の面積を持つのは円です。内角は、2π/3、つまり120°です。

ルーローの三角形の応用

ルーローの三角形の一定幅の特性は、工学分野で広く活用されています。例えば、幅sのルーローの三角形は、辺長sの正方形の中で内接しながら回転することができます。この特徴を利用したドリルを使うと、ほぼ正方形の穴を開けることが可能です。ただし、角は完全に削り切ることができず、楕円弧状になります。

また、ロータリーエンジンは、ルーローの三角形がペリトロコイドと呼ばれる図形に内接して回転する機構を利用しています。さらに、掃除用ロボットの外形にもルーローの三角形が採用されており、部屋の隅の掃除に効果を発揮しています。

その他の応用

幅1のルーローの三角形は、掛谷針集合としても知られています。これは、長さ1の線分を連続的に移動させて反転させることができる図形の代表例です。

関連事項

• - フランツ・ルーロー：ルーローの三角形を研究したドイツの工学者。
• - ロータリーエンジン：ルーローの三角形の回転運動を利用した内燃機関。
• - パナソニック・RULO：ルーローの三角形を外形に採用した掃除用ロボット。
• - マイバッハ：ロゴマークがルーローの三角形に似た形状。

まとめ

ルーローの三角形は、その独特な形状と定幅性という特異な性質から、数学や工学の分野で興味深い存在です。理論的な研究だけでなく、実際の製品にも応用されており、その実用性の高さが伺えます。今後も、ルーローの三角形の新しい応用分野が発見されるかもしれません。

参考資料

ルーローの三角形と定幅図形 - 高校数学の美しい物語
Reuleaux Triangle - MathWorld

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