対数的微分形式

対数的微分形式 (logarithmic differential forms)

対数的微分形式は、複素多様体論や代数多様体論における重要な概念です。これは、ある種の極を持つ有理型微分形式として定義されます。

定義

複素多様体 $X$ とその上の因子 $D$ を考えます。$X$ から $D$ を除いた開集合 $X \setminus D$ 上で定義された正則 p-形式 $\omega$ が、$D$ に沿って「対数的極」を持つとは、$\omega$ およびその外微分 $d\omega$ が $D$ に沿って高々位数が1の極を持つことを意味します。このような形式 $\omega$ を対数的 p-形式と呼び、その層を $\Omega_X^p(\log D)$ と表記します。

リーマン面の場合

1次元の複素多様体であるリーマン面（コンパクトでない場合を含む）では、対数的 1-形式は局所的に具体的な形で記述できます。ある有理型関数 $f(z)$ に対し、その対数微分 $\frac{df}{f}$ の形で表されるのが対数的 1-形式です。局所座標 $z$ のもとで $f(z)=z^m g(z)$ （ただし $g(z)$ は $z=0$ で正則かつ $g(0)
eq 0$, $m$ は $f$ の位数）であれば、

$$ \frac{df}{f} = \left(\frac{m}{z} + \frac{g'(z)}{g(z)}\right) dz $$

となり、これは単純な極（1位の極）を持ち、その留数は整数 $m$ に等しくなります。

正則対数複体

対数的微分形式の層 $\Omega_X^p(\log D)$ は、外微分作用素 $d$ と組み合わさって、正則対数複体 $(\Omega_X^\bullet(\log D), d)$ と呼ばれる層の複体を構成します。すなわち、$d$ は $\Omega_X^p(\log D)$ を $\Omega_X^{p+1}(\log D)$ に写し、$d^2=0$ を満たします。この複体は、$X-D$ 上の正則形式の複体 $j_\Omega_{X-D}^\bullet$ （ここで $j: X-D \to X$ は包含写像）の自然な部分複体となっています。

単純な横断的交叉を持つ因子

因子 $D$ が単純な横断的交叉を持つ場合が特に重要です。これは、$D$ が滑らかな既約超曲面の和として書け、これらの成分がどの点でも横断的に交わる状況です。局所的には、$D$ は適切な正則座標系 $(z_1, \dots, z_n)$ を用いて $z_1 \cdots z_k = 0$ という方程式で定義される超平面の合併として表されます。このとき、対数的 1-形式の層 $\Omega_X^1(\log D)$ の点 $p$ における茎は、局所的に定義された正則関数環 $\mathcal{O}_{X,p}$ を係数として、微分形式 $\frac{dz_1}{z_1}, \dots, \frac{dz_k}{z_k}, dz_{k+1}, \dots, dz_n$ によって生成される自由加群となります。より高次の対数的微分形式も、これらの1-形式の外積として局所的に構成されます。

高次元の例と留数理論

高次元の複素多様体における対数的微分形式の振る舞いを調べる上で、ポアンカレ留数の概念が重要です。例えば、楕円曲線のような多様体上の有理型微分形式が因子に沿って極を持つ場合、その形式のポアンカレ留数を計算することで、極に沿った多様体上の正則形式が得られることがあります。留数理論、特にギシン完全系列のような構成は、対数的微分形式の理論において基本的な役割を果たし、これはコンパクトリーマン面における留数定理の自然な一般化と見なすことができます。

ホッジ理論への応用

対数的微分形式の理論は、特異点を持つ複素代数多様体のホッジ理論を構築する上で中心的な役割を担います。複素代数多様体 $X$ が「良いコンパクト化」$j: X \hookrightarrow Y$ を持つ場合（すなわち、$Y$ はコンパクト多様体で、$D=Y \setminus X$ は $Y$ 上の単純な横断的交叉を持つ因子）、対数複体 $\Omega_Y^\bullet(\log D)$ は、$X$ 上の正則形式の複体 $j_\Omega_X^\bullet$ と擬同型になります。この擬同型を用いることで、$X$ の特異コホモロジー $H^k(X;\mathbf{C})$ を対数複体の超コホモロジー $\mathbb{H}^k(Y,\Omega_Y^\bullet(\log D))$ として計算できます。さらに、対数複体上の自然なフィルトレーションが、コホモロジー $H^k(X;\mathbf{C})$ 上にウェイトフィルトレーションを誘導し、標準的なFフィルトレーションと合わせて、$H^k(X;\mathbf{Z})$ 上に混合ホッジ構造を与えることが知られています。これは、特異点を持つ空間のコホモロジー構造を理解する強力な手法です。

古典論との関係

古典的なリーマン面論の文脈では、対数的微分形式はしばしば「第二種微分形式」と呼ばれ、極を持たない「第一種微分形式」と対比されて扱われました。現代数学においては、これらの概念はホッジ理論というより一般的な枠組みの中で統一的に理解されています。

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