ホッジ理論

ホッジ理論

数学の一分野であるホッジ理論は、なめらかな多様体上で定義される微分形式を研究する重要な理論です。特に、多様体にリーマン計量を導入することで得られるラプラス作用素などの微分作用素の解析的な性質を利用し、その多様体の位相的構造を反映するコホモロジー群の性質を深く解明することを目的としています。この理論は1930年代にウィリアム・ホッジによって、ド・ラームコホモロジーの概念を拡張・深化させる形で開発されました。

ホッジ理論は、その登場以来、数学の様々な分野に大きな影響を与え、特に以下の領域で重要な応用が見られます。

リーマン多様体の幾何学
ケーラー多様体の幾何学
複素射影多様体をはじめとする代数幾何学（モチーフ理論などを含む）

当初の研究は、境界を持たないコンパクトな多様体（閉多様体）に焦点を当てて進められました。日本でも小平邦彦氏らがこの理論の発展に貢献しています。

ホッジ分解

ホッジ理論の最も基本的な結果の一つに「ホッジ分解」があります。これは、多様体上の任意の微分形式がある種の直交成分に分解できるというものです。

微分形式における「余微分」（外微分 `d` の随伴作用素 `δ`）を用いると、任意の `k`-次の微分形式 `ω` は、次の三つの成分の和として表すことができます。

`ω = dα + δβ + γ`

ここで、`dα` は「完全形式」（ある微分形式 `α` の外微分）、`δβ` は「余完全形式」（ある微分形式 `β` の余微分）、そして `γ` は「調和形式」と呼ばれる成分です。

調和形式 `γ` は、ラプラス作用素 `Δ = dδ + δd` を作用させるとゼロになる形式として特徴づけられます（すなわち、`Δγ = 0` を満たします）。この分解は、多様体上の微分形式全体の空間に定義されるある種の「内積」（具体的にはL²内積 `(α, β) = ∫_M α ∧ β` で定義されるもの）に関する直交分解として理解することができます。分解の厳密な定式化と証明には、ソボレフ空間のような関数解析的な道具が用いられることがあります。

調和形式とコホモロジー

コンパクトなリーマン多様体 `M` に対して、ホッジ理論は調和形式がド・ラームコホモロジー群 `H_dR^k(M)` と深く関連していることを示します。ホッジの定理の中心的な主張は、各ド・ラームコホモロジー類はただ一つの調和形式によって代表されるということです。

これは、任意の閉形式（外微分がゼロになる形式）`ω` は、常に「完全形式」と「調和形式」の和 `ω = dα + γ` （`Δγ = 0`）として、調和形式 `γ` が一意的に定まる形で書けることを意味します。このことから、`k`-次の調和形式全体のなすベクトル空間は、`k`-次のド・ラームコホモロジー群 `H_dR^k(M)` と自然な形で同型であることが導かれます。

ラプラス作用素 `Δ` は楕円型作用素であり、コンパクト多様体上の楕円型作用素の核（つまり調和形式空間）は常に有限次元です。この事実は、ホッジ理論を用いることで、ド・ラームコホモロジー群が有限次元であることが保証されるという重要な帰結をもたらします。また、ホッジ理論はド・ラームコホモロジーにおけるポアンカレ双対性の証明にも用いられます。

例えば、n次元トーラス `T^n` の `k`-次ド・ラームコホモロジー群の次元（ベッチ数）が二項係数 `nCk` に等しいことは、調和形式の言葉で具体的に理解することができます。

一般化とホッジ構造

ホッジ理論は、ド・ラーム複体だけでなく、コンパクト多様体上のより一般的な「楕円型複体」に対しても適用できることが知られています。これは、微分作用素の特定の系列が満たすべき条件（楕円型性）があれば、同様にラプラシアンのような作用素を定義し、その核となる「調和切断」の空間が複体のコホモロジー群と同型になるというものです。

特に、ケーラー多様体や複素射影多様体のような複素構造を持つ多様体においては、ホッジ理論はさらに洗練された形をとります。このような多様体の実数係数コホモロジー群 `H^k(V)` は、「ホッジ構造」と呼ばれる特別な構造を持つことが知られています。

ホッジ構造とは、複素化されたコホモロジー空間 `H^k(V) ⊗ C` が、特定の性質を満たす次数付き空間 `H^p,q` の直和に分解されることです。

`H^k(V) ⊗ C = ⊕_{p+q=k} H^p,q`

各空間 `H^p,q` の次元 `h^p,q = dim H^p,q` はホッジ数と呼ばれ、多様体の重要な不変量となります。ベッチ数 `b_k = dim H^k(V)` はこれらのホッジ数の和 `b_k = Σ_{p+q=k} h^p,q` で与えられます。また、複素共役に関して `h^p,q = h^q,p` という対称性が成り立ちます。

このホッジ分解は、調和形式の理論、あるいはドルボーコホモロジーの理論を通じて理解することができます。特異点を持つ多様体や非コンパクト多様体の場合は、さらに複雑な「混合ホッジ構造」という概念が登場し、モノドロミー問題など幅広い問題に応用されています。

ホッジ理論とその拡張は、代数幾何学、微分幾何学、数論幾何学など、現代数学の多くの分野における基礎的かつ強力な道具となっています。

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