射影直線

射影直線：無限遠点と幾何学の統一

射影幾何学において、射影直線は通常の直線に「無限遠点」という特別な点を付加することで定義されます。この拡張により、平行線の交点といった概念が自然に導入され、幾何学的な定理の記述や証明が簡素化されます。例えば、異なる2本の射影直線は必ず1点で交わります。平行線の概念は必要なくなります。

射影直線の表現

射影直線を表現する方法として、最も一般的なのは、二次元ベクトル空間の部分空間として定義する方法です。これは、より高次元の射影空間の概念へと自然に一般化できます。

斉次座標

体K上の射影[直線]]P¹(K)の点は、斉次座標[x₁:x₂]で表されます。ここで、x₁とx₂はKの元であり、同時に0になることはありません。[x₁:x₂]と[λx₁:λx₂は同じ点を表します。

無限遠点

射影直線は、通常の直線を無限遠点で延長したものと見なせます。例えば、実数直線Rは、射影直線P¹(R)の部分集合{[x:1]|x∈R}と同一視され、[1:0]が無限遠点に対応します。この無限遠点を用いることで、実数直線上の演算を拡張し、1/0=∞、1/∞=0といった規則を定義できます。

演算の拡張

斉次座標を用いると、射影直線上での加算、乗算、逆元を以下のように定義できます。

[x₁:x₂] + [y₁:y₂] = [x₁y₂ + y₁x₂ : x₂y₂]

[x₁:x₂] * [y₁:y₂] = [x₁y₁ : x₂y₂]

[x₁:x₂]⁻¹ = [x₂ : x₁]

ただし、[0:0]は定義されません。

射影直線の例

実射影直線

実数体R上の射影直線P¹(R)は、実数直線Rに無限遠点を1つ加えたものです。位相的には円周と同相になります。これは、実平面上の点を単位円周に射影し、対蹠点を同一視することで得られます。

複素射影直線

複素数体C上の射影直線P¹(C)は、複素平面に無限遠点を1つ加えたものです。位相的には球面と同相であり、リーマン[[球面]]と呼ばれます。これは複素解析や代数幾何学において重要な役割を果たします。

有限射影直線

q元体Fq上の射影直線は、q+1個の点からなります。

対称性と射影変換群

射影直線P¹(K)には、射影変換群PGL₂(K)が作用します。この作用は推移的であり、任意の点を他の任意の点に写す射影変換が存在します。このため、「無限遠点」は座標系の選び方に依存する人工的な概念です。さらに、任意の3点を他の任意の3点に写す射影変換が存在します（三重推移性）。この性質は複比によって特徴付けられます。

代数曲線としての射影直線

射影直線は、種数0の非特異代数曲線の基本的な例です。代数閉体上の種数0の非特異曲線は、射影直線と双有理同値です。射影直線の関数体は、K(T)という有理関数体で表されます。

有理曲線

射影直線と双有理同値な曲線を有理曲線と言います。有理曲線の種数は0です。射影空間内の有理正規曲線は、部分線型空間内に含まれない有理曲線であり、斉次座標を用いて媒介変数表示できます。

まとめ

射影直線は、無限遠点を導入することで、直線の概念を拡張し、幾何学的な定理を簡潔に記述することを可能にする重要な概念です。様々な数学分野で応用され、その性質は複比や射影変換群といった概念と密接に関連しています。また、代数曲線の基本的な例としても重要な役割を果たしています。

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