巡回加群

巡回加群

巡回加群は、数学の加群論において重要な概念であり、特に環と密接に関連しています。巡回加群とは、ある環 R の下で、単一の元によって生成される加群のことを指します。これをもう少し詳しく説明すると、左加群 M が巡回加群であるためには、M の中に存在するある元 x に対して、M が R の元 r を用いて x のスカラー倍の集合で表現できる必要があります。具体的には、

$$
M = R x = \\{ r x \,|\, r \in R \}.
$$

この定義は右加群に対しても同様に適用されます。基本的には、1つの元 x が加群全体を生成すると考えることができます。

例

いくつかの具体的な例を考えてみましょう。加群の例として、正則加群 RR 自体は巡回 R-加群です。さらに、巡回群もまた、巡回 Z-加群として扱われます。また、単純加群は常に巡回加群の性質を保持します。

さらに、代数的閉体 F 上の線型空間 V を考えると、線型作用素 T: V → V の固有値 λ に対応する広義固有空間 V(λ) も巡回 F[T]-加群として認識されます。これらの例は、巡回加群がさまざまな数学の分野において出現することを示しています。

性質

さらに、環 R における左 R-加群 M が巡回加群であるための必要条件と十分条件について見ていきましょう。加群 M が巡回加群であるためには、M が RR の剰余加群であることが必要です。具体的には、M = Rx と書けるとき、準同型定理により次のように表現できます：

$$
R x \cong R / \operatorname{Ann}_{R}(x).
$$

ここで、Ann_R(x) は元 x に対する消去理論、すなわち次のように定義されます：

$$
\operatorname{Ann}_{R}(x) = \{ r \in R \mid r x = 0 \}.
$$

つまり、元 x を作用させて 0 になる R の元の集合です。

巡回 Z-加群については、その部分加群も再び巡回加群の性質を持ちますが、一般の環における巡回加群の部分加群が必ずしも巡回加群であるとは限らないという点には注意が必要です。このように、巡回加群は数学の基本的な構造を理解する上で非常に重要な位置を占めており、加群の性質を探る際の鍵となります。

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