幾何中心

幾何中心（重心）

幾何中心とは、図形を構成するすべての点の位置の算術平均の位置のことです。直感的には、その点で図形を支えると完全に釣り合う点と言えます。この概念は、任意の形状や次元のユークリッド空間で一般的に定義できます。

初等幾何学では、幾何中心は「重心」と呼ばれることもありますが、天文学や物理学では、「重心」は質量を考慮した平均位置を表します。均一な密度の物体では、幾何中心と質量中心は一致します。

幾何中心の性質

凸図形: 凸図形の幾何中心は常に図形の内側に存在します。
非凸図形: 非凸図形（例えば、リング状やボウル状の図形）では、幾何中心が図形の外側にある場合もあります。
対称性: 幾何中心は、図形の対称性の中心となります。図形が線対称であれば、幾何中心はその対称軸上に存在し、点対称であれば幾何中心は対称の中心となります。正多角形、正多面体、円、球など多くの図形の幾何中心はこの性質から容易に求められます。
平行四辺形: 平行四辺形の幾何中心は対角線の交点に位置しますが、その他の四辺形では必ずしもそうではありません。
* 並進対称性: 並進対称性のみを持つ図形では、幾何中心は定義されません。

幾何中心の計算方法

離散的な点集合

k個の点x₁, x₂, …, xₖ ∈ Rⁿ の幾何中心Cは、以下の式で表されます。


C = (x₁ + x₂ + ... + xₖ) / k


この点は、各点からのユークリッド距離の二乗和を最小にする点でもあります。

平面図形

平面図形を複数の単純な図形に分割し、各図形の幾何中心と面積を用いて全体の幾何中心を計算できます。各小図形の幾何中心をCᵢ、面積をAᵢとすると、全体の幾何中心Cₓ、Cᵧは次のようになります。


Cₓ = (ΣCᵢₓAᵢ) / (ΣAᵢ)

Cᵧ = (ΣCᵢᵧAᵢ) / (ΣAᵢ)


図形に穴があっても、分割が重なっても、この式は符号付き面積を用いることで成立します。この方法は3次元空間や高次元空間にも拡張できます。

積分を用いた計算

Rdの部分集合Xの幾何中心Cは、以下の積分を用いて計算できます。


C = ∫xg(x)dx / ∫g(x)dx


ここで、g(x)はXの指示関数、積分は全空間Rdにわたって行います。分母はXの測度（面積、体積など）を表します。ただし、Xが零集合の場合や積分が発散する場合は適用できません。

別の計算方法として、Sk(z)をXとxk=zで定義される超平面との交差の測度とすると、幾何中心Cのk座標Ckは以下のように計算できます。


Ck = ∫zSk(z)dz / ∫Sk(z)dz


分母はやはりXの測度です。

連続関数で囲まれた領域

区間[a,b]で連続関数f(x)とg(x)で囲まれた領域の重心(x̄, ȳ)は、領域の面積A


A = ∫a,b - g(x))dx


を用いて、次式で表されます。


x̄ = (1/A)∫[a,b]x(f(x) - g(x))dx

ȳ = (1/A)∫a,b + g(x))/2)(f(x) - g(x))dx

様々な図形の幾何中心

三角形

三角形の幾何中心は、3つの中線の交点であり、オイラー線上(垂心、外心などを結ぶ直線)に存在します。各中線は三角形の面積を2等分します。頂点A, B, C、重心Gとすると、平面上の任意の点Pに対し、以下の関係が成立します。


PA² + PB² + PC² = GA² + GB² + GC² + 3PG²


また、三辺の長さa, b, cとすると、


a² + b² + c² = 3(GA² + GB² + GC²)


が成立します。三角形の幾何中心は、各頂点の座標の平均値としても求めることができます。重心座標では(1/3, 1/3, 1/3)となります。

多角形

自己交叉のない閉多角形の幾何中心は、頂点の座標と面積を用いて計算できます。

錐体

円錐や角錐の幾何中心は、頂点と底面の幾何中心を結ぶ線分上にあり、底面から頂点に向かって1/4の位置にあります。

単体

四面体などのn次元単体の幾何中心は、頂点v₀, ..., vₙを用いて、


C = (1/(n+1))Σᵢvᵢ


と表されます。

半球

半球の幾何中心は、球の中心と半球の極を結ぶ線分を3:5に内分する点です。中空半球の幾何中心は、中心と極を結ぶ線分の中点です。

参考文献

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