建部賢弘

建部賢弘（たけべ かたひろ）

建部賢弘は、寛文4年（1664年）に生まれ、元文4年（1739年）に没した江戸時代中期の数学者です。旗本の家に生まれ、幼少の頃から数学に強い興味を持ちました。号を不休と称しました。

人物と業績

1676年、建部は関孝和に入門し、数学の研鑽を積みました。1719年には、将軍徳川吉宗の命により『日本総図』を作成するなど、その才能は広く認められました。建部は、師である関孝和の業績を解説する著作を多数発表し、特に『発微算法』の解説書である『発微算法演段諺解』では、変数消去の過程を詳細に説明し、その数学的厳密性を補完しました。また、関孝和とその兄である建部賢明と共に『大成算経』を著し、当時の和算の集大成となる偉業を成し遂げました。

建部の最も重要な業績の一つに、円周率に関する一連の研究があります。彼は、古くから知られていた正多角形による円の近似法に「累遍増約術」を適用し、円周率を41桁まで正確に算出しました。これは、関孝和の手法よりも少ない計算量で高い精度を達成したものであり、数値的加速法の先駆けとも言える画期的な成果でした。さらに、日本で初めて円周率の二乗を求める公式を考案しました。

また、建部は兄の賢明が発見した零約術（連分数展開）を用いて、非常に精度の高い円周率の近似分数を見つけ出しました。微小な円弧の長さをその矢の長さで数値的に冪級数展開し、その結果を零約術で処理することで、正しい係数を得ることに成功しました。これは、逆三角関数arcsinのテイラー展開に相当するもので、和算における最初の冪級数展開であり、後の円理発展の基礎となりました。この結果は、後にレオンハルト・オイラーも独立に発見しています。

その他、建部は指数1/2の二項級数やディオファントス方程式の近似解法を示すなど、多岐にわたる分野で優れた業績を残しました。また、和算家としては珍しく、数学の方法論についても深く考察し、『綴術算経』では数値計算と帰納に基づいた数学の方法論を提示しました。無限の概念を「不尽」という言葉で表現し、数学的な思考の深化に貢献しました。

1720年頃には、日本初の三角関数表である『弧率』または『算歴雑考』を著し、三角関数の研究においても先駆的な役割を果たしました。

後世への影響

建部賢弘の功績は、現代においても高く評価されており、日本数学会では若手数学者を対象とした「建部賢弘特別賞」と「建部賢弘奨励賞」（通称「建部賞」）が設けられています。

著書

『日本総図』
『発微算法演段諺解』
『大成算経』
『研幾算法』
『綴術算経』（1722年）

参考文献

小川束、佐藤健一、竹之内脩、森本光生『建部賢弘の数学』（共立出版、2008年）
佐藤健一編著『建部賢弘の「算歴雑考」日本初の三角関数表』（研成社、1995年）
上野健爾、砂田利一、新井仁之共同編集「数学のたのしみのひろがり 関孝和と建部賢弘特集」季刊＜フォーラム＞現代数学 2006夏号（日本評論社）
桜井進、『超 超面白くて眠れなくなる数学』、2012年
川北朝鄰: 關夫子以降本朝數學の進歩竝に學戰, 東京數學物理學會『本朝數學通俗講演集: 關孝和先生二百年忌記念』, 大日本圖書, 明治41年
小川束「円理の萌芽 : 建部賢弘の円周率計算 : (数学史の研究)」『数理解析研究所講究録』第1019号、京都大学数理解析研究所、1997年
小川束「建部賢弘の極値計算について (数学史の研究)」『数理解析研究所講究録』第1064号、京都大学数理解析研究所、1998年
* 菊地慶祐「建部賢弘の円周率計算の精度決定について」『湘南工科大学紀要』第49巻第1号、湘南工科大学、2015年

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