弱可測関数

弱可測関数の概念

数学における弱可測関数は、特に関数解析学の中で重要な役割を果たします。これは、特定のバナッハ空間において定義されており、関数の性質を理解する上で幅広い応用があります。ここで、弱可測関数はその双対空間の任意の元素との合成が、一般的な意味で可測である関数を指します。

定義

可測空間を
(X, Σ) とし、バナッハ空間 B を通常は実数体 R か複素数体 C 上で考えます。この場合、関数 f: X → B が弱可測であるとは、全ての連続線型汎関数 g: B → K に対して、次の合成関数が可測であることを意味します。

$$g ullet f : X
ightarrow K : x
ightarrow g(f(x))$$

このように、g∘f が Σ および K 上のボレル σ-代数において可測関数となる必要があります。

性質

弱可測性と可測性の関係は「ペティスの可測性定理」として知られています。具体的には、ある関数 f がほとんど確実に可分値を持つとは、測度 μ に対して固有の部分集合 N ⊆ X が存在し、μ(N) = 0 で、f(X \\ N) ⊆ B が可分であることを意味します。これは、関数の可測性を評価するための重要な基準になります。

ペティスの定理

測度空間 (X, Σ, μ) において、バナッハ空間 B への関数 f: X → B が可測であるための必要十分条件は、次のように表現されます。この関数 f が弱可測であり、かつほとんど確実に可分値であることが求められます。これはつまり、弱可測性と強可測性の定義が条件によって一致するということを示しています。

可分バナッハ空間における一致性

さらに、可分なバナッハ空間においては、任意の部分集合が可分である特徴があります。したがって、B が可分な場合、上述の集合 N を空集合と設定することにより、弱可測性と強可測性の考え方が一致することが確認できます。

関連項目

このような弱可測関数に関連する項目には、以下のようなものがあります。

• - ボホナー可測関数
• - ボホナー積分
• - ペティス積分
• - ベクトル測度

これらの概念は、関数解析や測度論の深い理解を助ける上で重要です。

参考文献

本テーマについてさらに深く学ぶには、以下の文献が参考になります。
Showalter, Ralph E. (1997). “Theorem III.1.1”. Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Mathematical Surveys and Monographs 49. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0500-2. MR1422252.

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