彩色数 (結び目理論)

彩色数（さいしょくすう）

彩色数は、位相幾何学の一分野である結び目理論において、結び目や絡み目の性質を示す重要な不変量の一つです。この概念は、特に絡み目の射影図の彩色に深く関わっています。

彩色可能性との関連

結び目や絡み目の射影図に対して彩色可能性を考える際、特に3彩色可能性が注目されます。3彩色可能性では、結び目の射影図に描かれる交点について、特定の条件を満たすように道を3つの異なる色で彩色できるかどうかを検討します。

道の定義

射影図における道とは、ある交点から他の交点へ続く部分を指します。例えば、ある交点において下を通る道と上を通る道があり、途中の交点では下を通ることが条件となります。この道に集まる3つの道は、全て同じ色であるか、異なる3色で色付けされます。また、全体に2色以上が使われていることも条件の一つです。

この条件を満たす場合、その結び目や絡み目は3彩色可能とされ、これに該当する例として三葉結び目や自明な絡み目が挙げられます。一方で、8の字結び目やホップ絡み目、ホワイトヘッド絡み目は3彩色不可能です。この彩色可能性は、ライデマイスター移動によって影響を受けず、不変量として数えられます。

3彩色数

上記の条件のうち、2番目の条件を除外することで、全ての結び目や絡み目の射影図が3彩色可能となります。この時に、どれくらいの方法で彩色できるかの総数を3彩色数と呼びます。例えば、自明な結び目の場合はその3彩色数が3、三葉結び目では9であると報告されています。

p彩色可能性の定義

3彩色可能性を拡張して、任意の素数pによるp彩色可能性が定義できます。この場合、絡み目の射影図の道には、0以上(p-1)以下のp種類の自然数が対応付けられます。

交点には3つの道が集まるため、各道に対し、上を通る道に自然数xを、下を通る2つの道にそれぞれ自然数yとzを配置し、以下の式が成り立つことを求められます:

$$
2x ≡ y + z \, \, \text{(mod p)}
$$

この条件を満たした上で、全体の彩色において2種類以上の自然数が使用されているとき、その射影図はp彩色可能とみなされます。

彩色数の概念

結び目において、複数の異なる素数pに対してp彩色可能性を持つことがあります。そこで、絡み目が最も小さいpを満たす場合、その値をその結び目の彩色数として定義します。彩色数が結び目の不変量であることは、結び目理論において非常に重要です。

脚注・参考文献

• - C・C・アダムス著、金信泰造訳『結び目の数学』培風館、1998年。ISBN 978-4563002541。
• - 村杉邦男『結び目理論とその応用』日本評論社、1993年。ISBN 978-4535781993。
• - 村上順『結び目と量子群』朝倉書店、2000年。ISBN 978-4254115536。

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