ライデマイスター移動

ライデマイスター移動とは

ライデマイスター移動とは、位相幾何学の一分野である結び目理論において、結び目や絡み目の射影図に対する基本的な変形手法のことを指します。この手法は、数学者クルト・ライデマイスターの名前にちなんで名付けられました。

定義

結び目や絡み目の射影図において、ライデマイスター移動には以下の3つの基本的な種類が存在します。これをそれぞれライデマイスター移動I、II、IIIと呼びます。

1. ライデマイスター移動I：絡み目の一部を捻じり、ループを作成したり、既存のループを取り除くことができる変形です。
2. ライデマイスター移動II：一方の成分を他方の成分の下に潜り込ませたり、その逆を行うことで、図に変化を加える操作です。
3. ライデマイスター移動III：交差点の上または下を別の成分が横切るように滑らせる変形となります。

これらの操作は、結び目や絡み目の性質を理解する上で非常に重要です。

性質

ライデマイスター移動がどのように結び目の性質に影響を与えるかについても興味深い点があります。ライデマイスター移動Iを適用すると、射影図の交点数やひねり数が1増減します。一方、移動IIではひねり数は変化せずに交点数が2増減します。移動IIIでは、交点数やひねり数は変わりません。このことにより、ライデマイスター移動Iはライデマイスター移動IIやIIIと独立であることが示されます。

2つの結び目や絡み目の射影図が同じものであるための必要十分条件は、有限回のライデマイスター移動および平面内での同位変形を繰り返すことでそれぞれが移りあえることです。この関係性を基に、結び目や絡み目は「有限回のライデマイスター移動により互いに移りあえる」という同値関係により定義されます。この性質はライデマイスターの定理と呼ばれ、1926年に証明されています。

さらに、ライデマイスター移動I'という特別な変形が存在することがあります。ライデマイスター移動I'は、移動IIとIIIの繰り返しによって実行可能であり、この操作では交点数が2増減しますが、ひねり数には影響を与えません。このため、ひねり数が変わらないライデマイスター移動IIとIIIを経た結び目は正則同位であるとされます。また、ライデマイスター移動Iを含む全体で変化する結び目を全同位と呼びます。

一般的に、結び目理論では3次元球面や3次元ユークリッド空間に埋め込まれた円周が結び目として見なされますが、3次元射影空間における結び目理論ではライデマイスター移動I、II、IIIに加え、さらに2種類の変形（IV、V）が導入され、通常の結び目理論と同様にライデマイスターの定理が適応されます。

また、空間グラフの理論において、円周の代わりにグラフを埋め込む手法にもライデマイスター移動に類似した2種類の変形（IV、V）が導入され、これらの理論においてもライデマイスターの定理に相当する事柄が成立します。さらに、仮想結び目の理論では、上下が指定されていない仮想的交点を考慮した射影図を扱うために、仮想ライデマイスター移動なる変形が新たに定義されています。

関連項目

• - カービー移動
• - マルコフ変形

参考文献

• - C・C・アダムス著、金信泰造訳 『結び目の数学』 培風館、1998年。
• - 大槻知忠編著 『量子不変量―3次元トポロジーと数理物理の遭遇』 日本評論社、1999年。
• - 鈴木晋一 『結び目理論入門』 サイエンス社、1991年。
• - V. V. Prasolov, A. B. Sossinsky, Knots, Links, Braids and 3-Manifolds, Amer Mathematical Society, 1993年。

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