抽象添字記法

抽象添字記法について

抽象添字記法は、テンソルやスピノルの数学的表現手法であり、従来の基底成分に依存せず、タイプを示す添字を使用します。この記法において、添字は特定の数値や基底を表すものではなく、あくまでプレースホルダーとして機能します。そのため、抽象添字記法をリッチ計算法と混同してはならず、捉え方に注意が必要です。このアイデアは、アインシュタインの縮約記法に基づいており、現代の抽象的テンソル記法が抱えるテンソル縮約や共変微分の困難さを克服するために、ロジャー・ペンローズによって提案されました。

定義と基本概念

ベクトル空間 V およびその双対 V∗ を考えた場合、ランク2の共変テンソル h ∈ V∗ ⊗ V∗ は、V 上の双線型形式と同じものと見なせます。言い換えると、h はV上の2つの引数を持ち、それぞれの引数は「スロット」として表現されます。このスロットのラベリングにはラテン文字が用いられ、数値ではなく単なるラベルである点に留意してください。

抽象的添字で表現されたテンソルは、次のように記述できます：

```math
h = h_{ab}.
```

ここで、添字はどのような意味も持たず、単なるラベルとして機能しているのが特徴です。テンソルの縮約は、同じ添字の繰り返しによって表され、一方のラベルが反変（上付き添字）であり、他方が共変（下付き添字）であることが重要です。この記法は、アインシュタインの縮約記法と形式的には類似していますが、抽象添字記法では数値的な意味を持っておらず、基底に依存しないトレース作用素に基づいています。

一般的なテンソルの表現

一般の同次テンソルは、次のように V および V∗ のテンソル積の要素として表されます：

```math
V ⊗ V∗ ⊗ V∗ ⊗ V ⊗ V∗
```

このテンソル積の各要素にはラテン文字が使用され、共変と反変を示すために添字にそれぞれ上付きと下付きが付けられます。このように記述することで、次のような表現が得られます：

```math
V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}.
```

または、別の表記法を用いて、

```math
{{{V^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}.
```

このテンソルは、同様の記法で表現可能です。例えば、次のようなテンソルも記述できます：

```math
{{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{e} ext{ これは } V^{} ⊗ V^{} ⊗ V^{} ⊗ V ext{ に属します。}
```

縮約の役割

共変および反変の要素がテンソル空間に存在する際は、縮約（もしくはトレース）写像が常に利用可能です。例えば、次のようなトレース写像を考慮します：

```math
ext{Tr}_{12}: V ⊗ V^{} ⊗ V^{} ⊗ V ⊗ V^{}→ V^{} ⊗ V ⊗ V^{}
```

この写像はテンソル積の最初の2つの空間に関連するトレースを適用します。さらに、他のトレースの例についても同様の議論が展開され、具体的な形式が明示されます。これにより、トレース作用素がテンソルに対する構造を決定づける役割を果たします。

組み紐写像とその重要性

特定のベクトル空間上のテンソル積には、それに対応する組み紐写像が存在します。例えば、次のような写像があります：

```math
τ_{(12)}: V ⊗ V → V ⊗ V
```

この写像は、2つのテンソル要素を交換するものです。この動作は、通常、対称群の要素と一対一に対応し、テンソル要素の入れ替えとして機能します。微分幾何学において、これらの組み紐写像は、ビアンキ恒等式を定式化するために重要です。

ここで、リーマンテンソルの記述等が行われ、それによって抽象添字がどのように組み紐の操作に利用されるかが明示されます。たとえば、リーマンテンソルは次のように記述されます：

```math
R = {R_{abc}}^{d} ext{, これは } V^{} ⊗ V^{} ⊗ V^{} ⊗ V ext{ に属します。}
```

組み紐操作がリーマンテンソルの特性にどのように影響を及ぼすか、具体的な等式も展開されます。この項目は、抽象的添字の順序付けや、関連する数学的考察の基礎を築く要素ともなります。

参照項目

抽象添字に関連する項目として、以下の文献や概念が挙げられます：

• - ペンローズのグラフ記法
• - アインシュタインの縮約記法
• - テンソル
• - 反対称テンソル
• - 添字の上げ下げ(Raising and lowering indices)

参考文献

• - Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2004.
• - Roger Penrose, Wolfgang Rindler, Spinors and space-time, volume I*, two-spinor calculus and relativistic fields.

もう一度検索