指標 (数学)

数学において、指標（英：character）とは、群から体への特別な関数を指します。この用語は、主に二つの異なるが関連する意味で使われます。

乗法的指標

群G上の乗法的指標（または線形指標、単に指標とも呼ばれる）は、群Gからある体の乗法群への準同型写像です。通常、この体は複素数体とされます。任意の群Gに対して、このような準同型の集合Ch(G)は、点ごとの乗算によってアーベル群を形成します。この群はGの指標群と呼ばれます。

多くの場合、「ユニタリ」な指標、つまり像が単位円上にある指標のみが考慮されます。それ以外の準同型は準指標と呼ばれます。この定義の特殊な例として、ディリクレ指標があります。

乗法的指標の重要な性質として、線形独立性があります。これは、ある群G上の異なる指標χ₁, χ₂, ..., χₙに対して、a₁χ₁ + a₂χ₂ + ... + aₙχₙ = 0 が成り立つならば、必ず a₁ = a₂ = ... = aₙ = 0 となることを意味します。

表現の指標

体F上の有限次元ベクトル空間V上の群Gの表現φの指標とは、その表現φのトレースを指します。一般的に、トレースは群準同型ではなく、その集合が群を形成することもありません。一次元表現の指標は、一次元表現そのものと同一であり、上記で述べた乗法的指標は、より高次元の指標の特殊なケースと見なすことができます。

指標を用いた表現の研究は指標理論と呼ばれ、この分野では一次元指標は線形指標とも呼ばれます。指標は、群の表現の構造を解析するための強力なツールです。

関連項目

• - ディリクレ指標
• - ハリシュ＝チャンドラ指標
• - ヘッケ指標
• - 無限小指標
• - 交代指標
• - 指標表

参考文献

• - Artin, Emil (1966), Galois Theory, Notre Dame Mathematical Lectures, number 2, Arthur Norton Milgram (Reprinted Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9
• - Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90190-6.

外部リンク

• - Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Character of a group”, Encyclopedia of Mathematics
• - Character of a group representation - PlanetMath.org

これらの参考文献や外部リンクは、指標の概念に関する理解を深めるのに役立つでしょう。

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