擬調和三角形

擬調和三角形（ぎちょうわさんかくけい）

ユークリッド幾何学において、擬調和三角形（英: Circumcevian triangle）は、ある基準となる三角形とそこに関連付けられる一点によって定まる、特別な性質を持つ三角形です。

定義

基準となる三角形を△ABCとし、その内部または外部に点Pをとります。

1. 点Pと頂点Aを結ぶ直線APを考えます。この直線APと△ABCの外接円との交点のうち、Aではない方の点をA'とします。
2. 同様に、点Pと頂点Bを結ぶ直線BPと外接円の交点のうち、Bではない方をB'とします。
3. 点Pと頂点Cを結ぶ直線CPと外接円の交点のうち、Cではない方をC'とします。

このとき、3つの点A', B', C'を頂点とする三角形△A'B'C'を、点Pに対する△ABCの擬調和三角形と呼びます。

数学者である小倉金之助は、これとは少し異なるものの、方べきの定理によって前述の定義と等価になる定義を採用しました。それは、「直線AP, BP, CP上にある点A', B', C'が、AP・A'P = BP・B'P = CP・C'Pという関係を満たすような点である」という定義です。外接円を用いた最初の定義において、方べきの定理を適用するとPA・PA' = PB・PB' = PC・PC'が成り立ち、これらの定義が一致することが確認できます。

具体例

基準三角形の中心点としてよく知られるものに対する擬調和三角形には、特別な名称が付けられています。

△ABCの内心を点Pとした場合の擬調和三角形は、circumcircle mid-arc triangle（またはcircummidarc triangle）と呼ばれます。
△ABCの重心を点Pとした場合の擬調和三角形は、circum-medial triangleと呼ばれます。
△ABCの垂心を点Pとした場合の擬調和三角形は、circum-orthic triangleと呼ばれます。

座標による表現

基準となる三角形△ABCの辺長をa, b, cとし、点Pの三線座標をα:β:γとすると、点Pに対する擬調和三角形△A'B'C'の各頂点の三線座標は以下のように表されます。


A' = -aβγ : (bγ + cβ)β : (bγ + cβ)γ
B' = (cα + aγ)α : -bγα : (cα + aγ)γ
C' = (aβ + bα)α : (aβ + bα)β : -cαβ


これらの座標を用いることで、擬調和三角形の幾何学的な性質を代数的に解析することが可能になります。

主な性質

擬調和三角形は様々な興味深い幾何学的性質を持っています。

基準三角形△ABCの外接円に内接する三角形の中で、△ABCの擬調和三角形と合同になる三角形は、合同変換を除けばただ一つ存在します。
任意の点Pに対する擬調和三角形△A'B'C'と、同じ点Pに対する垂足三角形は、常に同じ向きに相似の関係にあります。特に、等力点（Brocard点とも関連する）を点Pとした場合の擬調和三角形は正三角形となります。
点Pの擬調和三角形△A'B'C'と基準三角形△ABCが配景（Perspectivity）の位置にあるとき、その配景の軸（Perspectrix）は、△ABCの外接円に関する点Pの極線（Polar line）と一致します。
擬調和三角形の各頂点A', B', C'から、それぞれ基準三角形△ABCの対応する辺BC, CA, ABに対して下ろした垂線が一点で交わるような点Pの軌跡は、マッケイ三次曲線と呼ばれる有名な三次曲線を形成します。これは、擬調和三角形が基準三角形と「対垂」の関係にある点の集合を示しています。また、このマッケイ三次曲線上の点Pに対する擬調和三角形と垂足三角形は相似の位置にあり、その相似の中心が描く軌跡はルモワーヌ三次曲線として知られています。

これらの性質は、擬調和三角形が単なる定義上の概念にとどまらず、他の幾何学的な構成要素や有名な曲線と深く関連していることを示しています。

関連する概念

擬調和三角形の概念は、以下のような他の幾何学的な考え方とも関連しています。

調和四角形
チェバ線（Cevian line）
チェバの定理
* ポンスレの閉形定理

これらの概念と共に学ぶことで、擬調和三角形がユークリッド幾何学の中でどのような位置づけを持ち、他の図形とどのように連携しているかについて、より深い理解が得られます。

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