散乱振幅

散乱振幅について

散乱振幅（さんらんしんぷく、英語: scattering amplitude）は、量子力学の散乱理論の中で特に重要な役割を持つ概念です。この振幅は、定常状態における散乱過程において、入射する平面波が外向きに広がる球面波にどのように影響を与えるかを定量化したものです。

定義

散乱過程が定常的であると仮定できる場合、例えば弾性散乱のように、散乱状態の波動関数は、入射平面波と外向き球面波の重ね合わせとして表現されます。この波動関数は次のように記述されます。

$$
\psi (\mathbf{r}) = e^{ikz} + f(\theta) \frac{e^{ikr}}{r}
$$

ここで、

• - $$\mathbf{r} \equiv \{x, y, z\}$$ は空間の座標ベクトルを示し、
• - $$r \equiv |\mathbf{r}|$$ はその長さです。
• - $$e^{ikz}$$ は入射波数ベクトル $$k$$ が z 軸方向に向かって入射していることを示しており、
• - $$\frac{e^{ikr}}{r}$$ は外向きの球面波、
• - $$\theta$$ は散乱角、
• - $$f(\theta)$$ が散乱振幅に該当します。

性質

散乱振幅は長さの次元を持ち、微分散乱断面積は次のように定義されます。

$$
\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2
$$

この式から、散乱振幅がどのように散乱の確率に影響を与えるかが分かります。また、低エネルギー領域においては、散乱振幅は散乱長によって主に決まることが知られています。

部分波展開

散乱振幅は、部分波展開を用いても表現できます。これは、散乱振幅が複数の部分波の加算として記述されることを意味します。

$$
f(\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} (2l + 1) f_l(k) P_l(\cos(\theta))
$$

ここで、$$P_l(\cos(\theta))$$ はルジャンドル多項式であり、$$f_l(k)$$ は各部分波に対する部分振幅を示します。この部分振幅は S 行列要素 $$S_l$$ と、散乱による位相のずれ $$\delta_l$$ を用いて次のように表現されます。

$$
f_l = \frac{S_l - 1}{2ik} = \frac{e^{2i\delta_l} - 1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_l} \sin\delta_l}{k} = \frac{1}{k \cot\delta_l - ik}
$$

散乱長の種類

散乱振幅には、さまざまな現象に関連する散乱長があり、例えば X 線の場合はトムソン散乱長または古典電子半径 $$r_0$$ が該当します。さらに、中性子散乱過程ではコヒーレント中性子散乱長 $$b$$ が重要な役割を果たします。

量子力学的形式

散乱振幅は、しばしば量子力学的アプローチにおいて S 行列形式で扱われます。この形式は、散乱理論におけるさまざまな現象の理解に寄与します。

まとめ

散乱振幅は、量子力学的な散乱理論において、散乱過程を解析するための基本的なツールです。入射波と散乱波の関係を明確にすることで、様々な物理現象を定量化し、理解を深めることにつながります。

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