ルジャンドル多項式

ルジャンドル多項式は、数学や物理学の様々な分野で利用される特殊な多項式です。これらは、アドリアン＝マリ・ルジャンドルにちなんで名付けられたルジャンドルの微分方程式 (1-x²)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0 の特別な解として定義されます。

この微分方程式の解のうち、非負整数 n をパラメータとするものは、x = ±1 の特異点においても正則で、無限級数ではなく有限の項を持つ多項式となります。これらの多項式は、点 x = 1 での値が Pn(1) = 1 となるように標準化され、これをn次ルジャンドル多項式 Pn(x) と呼びます。ルジャンドル多項式は、直交多項式の一つとして知られています。

定義と性質

ルジャンドル多項式 Pn(x) を得る方法としては、ロドリゲスの公式がよく用いられます。


Pn(x) = [1 / (2^n n!)] d^n/dx^n [(x² - 1)^n]


また、母関数を用いた定義も可能です。母関数 (1 - 2xt + t²)^(-1/2) を t についてテイラー展開した際の n次の項の係数が Pn(x) t^n となります。この母関数は物理学の多重極展開で重要です。

ルジャンドル多項式は、以下の漸化式（ボネの漸化式）を満たします。


(n+1)Pn+1(x) = (2n+1)xPn(x) - nPn-1(x)


初期値 P0(x) = 1, P1(x) = x から、この漸化式により全てのルジャンドル多項式を生成できます。

直交性

ルジャンドル多項式の最も重要な性質の一つが、閉区間 [-1, 1] における直交性です。L2内積に関して、異なる次数のルジャンドル多項式は直交します。すなわち、m ≠ n のとき ∫[-1,1] Pm(x) Pn(x) dx = 0 です。


∫[-1,1] Pm(x) Pn(x) dx = [2 / (2n+1)] δmn


ここで δmn はクロネッカーのデルタです。この直交性により、[-1, 1] 上の関数をルジャンドル多項式の級数で展開できます。また、ルジャンドル多項式は、スツルム・リウヴィル理論における特定の微分作用素の固有関数系と見なせます。

物理学への応用

ルジャンドル多項式は様々な物理現象の記述に現れます。

ポテンシャル展開: 点電荷や質点によるポテンシャルを極座標で表す際に自然に現れます。
ラプラス方程式の解: 軸対称な境界条件下での静電ポテンシャルなどを記述するラプラス方程式の解として用いられます。
量子力学: 中心力ポテンシャルの下でのシュレーディンガー方程式の角度部分の解に現れます。

その他の性質

対称性: Pn(-x) = (-1)^n Pn(x)
端点での値: Pn(1) = 1, Pn(-1) = (-1)^n
微分と積分の関係: `(2n+1)Pn(x) = d/dx [Pn+1(x) - Pn-1(x)]`

関連する多項式

ずらしルジャンドル多項式: 区間 [0, 1] で定義され、~Pn(x) = Pn(2x-1) で与えられます。区間 [0, 1] で直交します。
ルジャンドル陪多項式: Pk^m(t) はルジャンドル陪微分方程式の解であり、Pk(t) の m階微分と関連します。


Pk^m(t) = (1 - t²)^(m/2) * d^m/dt^m Pk(t)


これらは球面調和関数と関連が深いです。

ルジャンドル多項式は、その豊富な数学的構造と物理学における応用から、数学、物理、工学の分野で広く研究され、利用されています。

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