数ベクトル空間

数ベクトル空間

数ベクトル空間とは、「数の組からなる空間」を自然にベクトル空間とみなしたものです。ここでいう「数」は、四則演算が定義された代数系、特に可換体であり、順序や位相が定められたものを指します。実数全体の集合 \(\mathbb{R}\) や複素数全体の集合 \(\mathbb{C}\) が代表例ですが、代数体や有限体など、より一般的な体の上でも数ベクトル空間を考えることができます。

定義

体 \(K\) 上の \(n\)-次元数ベクトル空間は、\(K\) の \(n\) 個の直積集合 \(K^n\) を台集合とし、以下の加法とスカラー乗法が定義された組 \((K^n, +, \circ)\) として定義されます。

加法

\(+: K^n \times K^n \rightarrow K^n; (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \mapsto (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n)\)

スカラー乗法

\(\circ: F \times K^n \rightarrow K^n; (\lambda, \boldsymbol{x}) \mapsto (\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n)\)

ここで、\(\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in K^n\), \(\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, \dots, y_n) \in K^n\), \(\lambda \in F\) です。

この組は、数のタプルを元としてベクトル空間の公理を満たし、\(n\) 次の有限次元であるため、「\(n\)-次元数ベクトル空間」と呼ばれます。

基底と次元

数ベクトル空間 \(K^n\) において、\(n\) 個のベクトルからなる集合 \(B = {\boldsymbol{e_i} \in K^n | 1 \leq i \leq n}\) を次のように定義します。

\(\boldsymbol{e_1} = (1, 0, 0, \dots, 0)\), \(\boldsymbol{e_2} = (0, 1, 0, \dots, 0)\), \(\boldsymbol{e_3} = (0, 0, 1, \dots, 0)\), ..., \(\boldsymbol{e_n} = (0, 0, 0, \dots, 1)\)

このとき、任意のベクトル \(\boldsymbol{x} \in K^n\) は \(\boldsymbol{e_i}\) の線形結合で表現できます。つまり、

\(\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} x_i \boldsymbol{e_i}\)

が成立します。すなわち、\(K^n\) は \(B\) で張られます。また、\(B\) は明らかに線形独立です。したがって、\(B\) は \(K^n\) の基底となります。この基底を標準基底 (canonical basis, standard basis) といいます。

\(K^n\) の基底を構成するベクトルの数が \(n\) であることから、\(K^n\) は \(K\) 上のベクトル空間として \(n\)-次元の有限次元です。

内積

標準内積は次のように定義されます。

\((x_1, x_2, \dots, x_n) \cdot (y_1, y_2, \dots, y_n) := x_1y_1 + x_2y_2 + \dots + x_ny_n\)

アフィン構造

標準内積を考えない場合の数ベクトル空間は、特に \(n\) 次元アフィン空間 \(A^n = AK^n\) と呼ばれることがあります。これはアフィン変換で閉じられており、正則アフィン変換は直交群と平行移動群の直和に分解されます。

実数体 \(\mathbb{R}\) 上のアフィン空間 \(A^n = A\mathbb{R}^n\) は、ユークリッド空間 \(E^n\) に付随して座標や平行移動を表す空間とみなされ、\(E^n\) の中で平行性や線形独立性など、距離に依存しない性質を扱うことができます。

一般のベクトル空間との関係

有限次元ベクトル空間は、基底を選ぶことにより、次元の同じ数ベクトル空間と同型になります。したがって、有限次元の抽象ベクトル空間の分類は、次元によって支配されているということができます。

類似概念

無限次元の数ベクトル空間と呼ぶべきものについては、その位相についての議論が不可欠ですが、いくつかの例が存在します。例えば、次元が非常に大きな数空間 \(K^n\) の \(n\) を限りなく大きくすることの極限として得られる可算次元空間

\(\mathbb{K}^{\infty} = \bigoplus_{n=0}^{\infty} \mathbb{K} = \varinjlim_{n \to \infty} \mathbb{K}^n = \bigcup_{n=0}^{\infty} \mathbb{K}^n\)

や、座標が無限数列となるような可算次元空間

\(\mathbb{K}^{\mathbb{N}} = \mathrm{Map}(\mathbb{N}, \mathbb{K}) = \prod_{n=0}^{\infty} \mathbb{K} = \varprojlim_{n \to \infty} \mathbb{K}^n\)

などがあります。あるいは、より濃度の大きな集合で添字付けられるようなものも同様に想定できますが、これらは関数空間として扱われることが一般的です。

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