斜方切頂二十・十二面体

斜方切頂二十・十二面体とは？

斜方切頂二十・十二面体とは、半正多面体の一つです。この立体は、二十・十二面体の各頂点を切り落としたような形をしていますが、正確には二十・十二面体の頂点を単純に切り落としたものではありません。幾何学的に複雑な構造を持つ、魅力的な立体です。

性質

斜方切頂二十・十二面体の幾何学的性質を見ていきましょう。

面: 正五角形30枚、正方形30枚、正三角形20枚の計80枚の面を持ちます。
辺: 120本の辺を持ち、これは半正多面体の中で最大です。
頂点: 60個の頂点を持ち、これも半正多面体の中で最大です。
対称性: 高い対称性を持っており、様々な対称操作に対して不変です。
表面積: 一辺の長さを a とすると、表面積 S は以下の式で表されます。

S = (30 + 30√3 + 30√(5 + 2√5))a²

外接球半径: 一辺の長さを 2 とすると、外接球の半径は √(31 + 12√5) となります。

ゾーン多面体: 斜方切頂二十・十二面体は、ゾーン多面体という特殊な多面体の仲間でもあります。ゾーン多面体とは、特定の規則に従って面が配置された多面体のことで、斜方切頂二十・十二面体は、その規則に合致する形状をしています。

近縁な立体

斜方切頂二十・十二面体と近縁な立体には、以下のようなものがあります。

二十・十二面体: 斜方切頂二十・十二面体の母体となる立体です。二十・十二面体の各頂点を切り落とすことで、斜方切頂二十・十二面体が形成されます。
切頂二十面体、切頂十二面体: これらの立体も、二十・十二面体から派生した立体であり、斜方切頂二十・十二面体と幾何学的な関係があります。
斜方切頂立方八面体: 斜方切頂二十・十二面体と同様に、半正多面体の一種です。形状は異なりますが、対称性や幾何学的性質に共通点が見られます。
* 一様大斜方二十・十二面体: 英語名ではGreat rhombicosidodecahedron と呼ばれ、斜方切頂二十・十二面体と同じ名称で呼ばれることもあります。

まとめ

斜方切頂二十・十二面体は、その複雑で美しい形状、そして半正多面体の中で最大となる辺の数と頂点の数を持つことから、幾何学愛好家にとって非常に興味深い立体です。 その性質を理解することで、多面体の世界への理解が深まることでしょう。 様々な角度から見て、その対称性と複雑な構造を堪能してみてください。 幾何学における重要な図形の一つとして、これからも研究が続けられるでしょう。

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