星型多角形

星型多角形の概要

星型多角形とは、平面上で作られる特有の幾何学図形のひとつであり、元となる多角形の各辺を延長して得られる交点をつなぐことで新たな形が形成されます。このようにして作り出される星型多角形は、特に多角形の側面の延長から生まれる交点が重要な特徴となります。特に、三角形や四角形においては、辺の延長上に交点が現れないため、これらの図形自身は星型多角形ではありません。これに対し、五角形や六角形では、一度交点が現れることからそれぞれ五芒星・六芒星といった呼称が与えられています。さらに、このような変換の過程は「星型化」と呼ばれ、延長された側面によって生じる鋭角だけが内角として認識されます。

星型正多角形

星型多角形には、特に「星型正多角形」というカテゴリーがあります。これは正多角形から生成されるタイプの星型多角形であり、他の正多角形に分けることができない独特の形状を持っています。具体적으로、正偶数角形から生成された場合、その交点は二回以上交わることが求められます。これに対し、交点が一度しか交わらない星型偶数角形は、その偶数を半分にした二つの多角形に分解できる特性があります。

芒星図形

星型多角形の中でも、特に五角形以上の正多角形の辺を左右に延ばした図形は「芒星」と呼ばれます。七角形以上を用いた場合、複数の交点を得るため、様々な芒星図形が形成されることになります。これらの図形の形成においては、奇数のnの場合、交点の数はN=(n-3)/2、偶数のnの場合はN=(n-4)/2という関係が成り立ちます。

芒星の種類

芒星は以下のような種類があります：
1. 星型正多角形
2. 複合正多角形（複数の正多角形が組み合わさった形）
3. 複合星型正多角形（星型正多角形が組み合わさった形）

芒星の作図

作図される芒星図形が、複合型であるかどうかは「密度」によって判断されます。具体的には、星型正多角形の場合、その密度が頂点の約数であるかどうかがポイントです。もし密度が頂点の約数でなければ、それは単純な星型正多角形として扱われます。一方で、密度が約数の場合、密度が頂点の約数以下であれば、それは複合正多角形とされ、密度が頂点の約数を超える場合は複合星型正多角形とみなされます。頂点が素数の場合は、約数が1と素数自体のみとなるため、複合型は発生しなくなります。

星型多角形はその独特な形状と構造から、幾何学やデザインの分野での研究対象として興味深い存在です。

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