星状領域

星状領域（Star Domain）とは

数学、特に幾何学や位相空間論において、「星状領域」（または星状集合、星状凸集合、放射凸集合）とは、ある特別な幾何学的性質を持つ集合を指します。この概念は、主にユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ で考察されますが、より一般的な実あるいは複素ベクトル空間においても同様に定義されます。

ある集合 $S$ が星状領域であるとは、集合 $S$ の内部に少なくとも一つ、「中心」となりうる点 $x_0$ が存在し、その点 $x_0$ と集合 $S$ 内の任意の点 $x$ を結んだすべての線分が、完全に集合 $S$ の中に含まれることをいいます。

この定義をより直感的に理解するためには、集合 $S$ を壁で囲まれた部屋や空間と想像してみてください。このとき、$S$ が星状領域であるということは、その部屋（空間）のどこか一箇所（点 $x_0$）に立ったときに、部屋の中のどこ（任意の点 $x$）を見渡しても、視線が壁や障害物に遮られることなく届く（線分が $S$ 内に含まれる）ような点が存在する、と考えることができます。

具体的な例

星状領域の概念を理解するために、いくつかの例を見てみましょう。

直線や平面: ユークリッド空間 $\mathbb{R}^n$ における任意の直線や平面は星状領域です。これらの集合では、どの点を中心点 $x_0$ に選んだとしても、そこから集合内の他の点への線分は常に集合内に収まります。
一点が除かれた直線や平面: 一方、直線や平面からただ一点を除いた集合は、星状領域ではありません。除かれた点を通る線分は、もはや集合内に完全に含まれないからです。
原点と集合を結んでできる集合: $\mathbb{R}^n$ 内の任意の集合 $A$ を考えます。原点 $O$ と $A$ 内の各点 $a$ を結ぶ線分全体を集めてできる集合 $B = \{ta \mid a \in A, t \in [0, 1]\}$ は、常に星状領域となります。この場合、中心点として原点 $O$ を選ぶことができます。
凸集合: 任意の空でない凸集合は、必ず星状領域です。さらに、ある集合が凸集合であることと、その集合内の任意の点を中心点として星状領域になることは同値です。つまり、凸集合は「どの点からでも全部見渡せる」集合といえます。
凸でない星状領域: 凸集合は星状領域ですが、星状領域が必ずしも凸集合であるとは限りません。例えば、十字の形をした領域（二つの直交する線分の合併など）は星状領域ですが、凸集合ではありません。
星状多角形: 特に平面上の図形で、境界が線分で結ばれた多角形のうち、星状領域となるものを星状多角形と呼びます。

数学的な性質

星状領域は、その定義からいくつかの興味深い数学的な性質を持ちます。

閉包: 星状領域の閉包（集合とその境界点をすべて含めたもの）は、常に星状領域となります。
内部: しかし、星状領域の内部（境界点を含まない部分）は、必ずしも星状領域であるとは限りません。
可縮性: すべての星状領域は、位相幾何学的な性質として「可縮集合」（contractible set）であることが知られています。これは、集合を一点に連続的に変形できることを意味します。特に、可縮集合は常に「単連結」（simply connected）です。単連結とは、集合内の任意の閉じたループを集合内で一点に縮めることができる性質を指します。
自己縮小性: 任意の星状領域は、自身を縮小した形状を完全に内部に含むことができます。具体的には、縮小率 $r < 1$ に対して、元の星状領域を $r$ 倍に縮小して得られる集合は、元の星状領域の中に完全に含まれます。
合併と共通部分: 二つの星状領域を合併したり、共通部分を取ったりして得られる集合は、必ずしも星状領域になるとは限りません。
微分同相性: $\mathbb{R}^n$ 内の空でない開集合である星状領域は、空間 $\mathbb{R}^n$ 全体と「微分同相」であるという性質を持ちます。これは、微積分可能な写像とその逆写像によって互いに連続的に変形できる、非常に強い数学的な同等性を示します。

星状領域は、その比較的単純な定義にもかかわらず、位相幾何学的な性質や解析学的な文脈で重要な役割を果たす概念です。

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